全微分の例として，微小変位ベクトルの大きさの二乗である「線素」を極座標で表してみる。
平面上の近接2点
平面上の近接した2点 $P(x, y)$ と $Q(\tilde{x}, \tilde{y})$ を考える。2点は極めて近いので，点 $Q$ の成分は微小変位 $dx, dy$ を使って
\begin{eqnarray}
\tilde{x} &=& x + dx \\
\tilde{y} &=& y + dy
\end{eqnarray}
のように書くことができる。
微小変位ベクトル
2点を結ぶベクトル $\overrightarrow{PQ}$ を微小変位ベクトル $d\vec{x}$ と定義すると，その成分は
$$d\vec{x} = (dx, dy)$$
線素
微小変位ベクトルの大きさの二乗を「線素」と呼ぶことにする。この呼び方は，のちに一般相対論で使われる数学的道具立ての一つとして現れる（このあたりを参照）。
$$d\ell^2 \equiv d\vec{x}\cdot d\vec{x} = dx^2 + dy^2$$
2次元極座標
2次元デカルト座標 \(x, y\) から極座標 \(r, \phi\) への座標変換（つまり元の座標 \(x, y\) を使って新しい座標 \(r, \phi\) を表す式）は
\begin{eqnarray}
r &=& \sqrt{x^2 + y^2} \\
\phi &=& \tan^{-1} \frac{y}{x}
\end{eqnarray}
その逆変換（つまり新しい座標 \(r, \phi\) を使って元の座標 \(x, y\) を表す式）は，
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos\phi\\
y &=& r \sin\phi
\end{eqnarray}
1階偏微分
\begin{eqnarray}
\frac{\partial x}{\partial r} &=& \cos\phi \\
\frac{\partial x}{\partial \phi} &=& -r \sin\phi \\
\frac{\partial y}{\partial r} &=& \sin\phi \\
\frac{\partial y}{\partial \phi} &=& r \cos\phi
\end{eqnarray}
全微分
\begin{eqnarray}
dx &=& \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \phi} d\phi \\
&=& \cos\phi\, dr -r \sin\phi\, d\phi \\
dy &=& \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \phi} d\phi \\
&=& \sin\phi\, dr + r \cos\phi\, d\phi
\end{eqnarray}
極座標で表した線素
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ d\ell^2 &=& dx^2 + dy^2 \\
&=& \left( \cos\phi\, dr -r \sin\phi\, d\phi\right)^2 + \left( \sin\phi\, dr + r \cos\phi\, d\phi\right)^2\\
&=& dr^2 + r^2 d\phi^2
\end{eqnarray}
デカルト座標では，線素は微小変位の二乗和 $d\ell^2 = dx^2 + dy^2$ であるが，極座標（およびデカルト座標以外の一般座標）ではそうはならない。
近接2点の座標を極座標で書くと $P(r, \phi), Q(r+dr, \phi + d\phi)$ であり極座標で書いた微小ベクトルの成分も
$$\overrightarrow{PQ} \equiv d\vec{x} = (dr, d\phi)$$
であるからといって，線素は $d\ell^2 = dr^2 + {\color{red}{1}}\cdot d\phi^2$ とはならない！$d\phi^2$ の前は $ {\color{red}{1}}$ ではなく，${\color{blue}{r^2}}$ がついて $d\ell^2 = dr^2 + {\color{blue}{r^2}} \,d\phi^2$ となることに注意！