任意周期のフーリエ級数展開の例

フーリエ級数展開

周期 \(2\pi\)の決め打ちのフーリエ級数ではなく，任意の周期をもつ場合は，一般に周期を \(2L\) として…

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \left( \frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n\pi x}{L} \right) \,  d{x} $$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right)\,  d{x} $$

この例題の場合は，\(f(x) = x, \ L = 1\) として

$$a_n = \int_{-1}^{1} x \cos \left(n \pi  x\right) \,  d{x} = 0$$

\begin{eqnarray}
b_n &=& \int_{-1}^{1} x \sin \left(n \pi x \right)\,  d{x} \\
&=& \left[ – x \frac{\cos n \pi x}{n \pi} \right]_{-1}^{1} + \int_{-1}^{1} \frac{\cos n \pi x}{n \pi} dx \\
&=& – \frac{2 \cos n\pi}{n\pi} \\
&=& \frac{2}{n\pi} (-1)^{n+1}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\therefore\ \ f(x) &=& b_1 \sin \pi x + b_2 \sin 2 \pi x + b_3 \sin 3 \pi x + \cdots\\
&=& \frac{2}{\pi} \sin \pi x – \frac{1}{\pi} \sin 2 \pi x + \frac{2}{3 \pi} \sin 3 \pi x + \cdots
\end{eqnarray}