\(\displaystyle\iint_D f(x,y) dx dy\) の領域 \(D\) が何と何で囲まれているかを明らかにして積分する。
領域 \(D\) が \(x = a, \ x = b, \ y = \phi_1(x), \ y = \phi_2(x)\) で囲まれる場合
$$\int\!\!\!\int_D f(x,y) dx dy = \int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} dy\, f(x,y)$$
解説：
\begin{eqnarray}\int\!\!\!\int_D f(x,y) dx dy &=&
\int_a^b \left\{ \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y) dy \right\} dx \\
&=& \int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y) dy \,dx \\
&=& \int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} dy \,f(x, y)
\end{eqnarray}
高校では，インテグラル \(\int\) と \(dx\) の間に被積分関数 \(f(x)\) を挟んで書いてましたが，2重積分のような場合は，インテグラル \(\int_a^b \) の積分範囲が，\(x\) の範囲なのか \(y\) の範囲なのか混乱する場合もあるでしょう。
そこで，上式の一番最後の表記のように，\(\int_a^b dx\) と書いて \(x\) の積分範囲が\([a, b]\) なんですよとわかりやすくするというのが大学の書き方です。
積分する変数とその積分範囲のペアを最優先に
$$\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} dy$$ のように書くので，肝心の被積分関数 \(f(x,y)\) が一番最後に現れて，見慣れないうちは何となく落ち着かないかもしれませんが，まあ，慣れてください。
領域 \(D\) が \(y = c, \ y = d, \ x = \psi_1(y), \ x = \psi_2(y)\) で囲まれる場合
$$\int\!\!\!\int_D f(x,y) dx dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} dx\, f(x,y)$$