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2重積分

2重積分の定義

1変数の場合の積分,例えば \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) は何を表していたかというと,曲線 \( y = f(x)\) と \(y = 0\)(\(x\)軸)と,\(x = a, \ x = b\) で囲まれた部分の面積を表していたのであった。
 多重積分(多変数関数の積分)として最も簡単な,2変数の積分を
$$ \int\!\!\int_D f(x, y) dx dy $$
と書き,これを領域 \(D\) での2重積分と呼ぶことにすると,この2重積分が表しているのは,曲面 \(z = f(x, y)\) と \(z = 0\)(\(xy\) 平面)の間で,領域 \(D\) の上にある部分の体積を表していることになる。

特に,\(\displaystyle \int\!\!\int_D \,dx dy \) は(高さ \(1\) の立体の体積であり,体積とは底面積×高さであるから)領域 \(D\) の面積を与える。