ケース1
2変数関数 \(z = f(x, y)\) において，\(x = x(t), \ y = y(t)\) なら，パラメータ（媒介変数）\(t\) を決めれば \(x\) と \(y\) の値が一意に決まり，それによって \(z\) の値も決まってしまうので，結果，\(z\) は \(t\) の1変数関数 \(z = z(t) \) となる。つまり， $$z = f(x(t), y(t)) \quad \rightarrow\quad z = z(t)$$
\(z\) の全微分は， $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$ 両辺を \(dt\) で「割って」 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$
ケース2
\( z = f(x, y) \) について，$$ x = x(u, v), \quad y = y(u, v)$$ なら，
$$ z = f(x(u, v), y(u, v)) \quad \rightarrow\quad z = z(u, v)$$
$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$
このような合成関数の偏微分の関係が利用される状況として，座標変換があげられる。例えば，2次元デカルト座標 \(x, y\) から極座標 \(r, \theta\) への変換
\begin{eqnarray}
x &=& x(r, \theta) = r \cos\theta\\
y &=& y(r, \theta) = r \sin\theta
\end{eqnarray}
ケース3
あと，こんなケースも。\(z = f(u)\) と \(z\) は1変数 \(u\) の関数なのだが，\(u\) は 2変数 \(x, y\) の関数であり \(u = u(x, y)\)，結局 \(z = z(x, y)\) は2変数関数となる，という場合。
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial x} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial y} $$