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任意の周期をもつ関数のフーリエ級数展開

フーリエ級数の導入では,区間 \( -\pi \le x \le \pi \) で定義された関数 \(f(x)\) が,その区間の外では周期 \(2\pi\) の周期関数であるとした。

周期 \(2\pi\) の決め打ちではなく,任意の周期をもつ関数の場合はどうなるか,という話。

区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合,そのフーリエ級数展開は…


先にまとめ

先に答えを書いておく。区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合,そのフーリエ級数展開は
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \frac{n\pi}{L} x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx $$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx $$

以下は,こうなる理由。

 

周期 \( 2L\) の周期関数

 

区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x) \) が,その区間外では周期 \(2 L\) の周期関数であるとし,この関数をフーリエ級数展開する。

 

周期 \(2\pi\) の場合の公式から,以下のようにして変数を置き換える。

まず,$$ -\pi \le {\color{blue}{x}} \le \pi $$ を \(\pi\) でわって $$ -1 \le \frac{1}{\pi}{\color{blue}{x} }\le 1 $$ そして \(L\) をかけて $$ -L \le \frac{L}{\pi} {\color{blue}{x}} \le L $$
$$ \frac{L}{\pi} {\color{blue}{x}}\Rightarrow {\color{red}{x}} \quad\mbox{or}\quad {\color{blue}{x} }\Rightarrow \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}$$ と置き換えると $$ -L \le {\color{red}{x} }\le L$$

つまり,任意の周期 \(2L\) の周期関数のフーリエ級数は,周期 \(2\pi\) の場合の以下の式

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos n {\color{blue}{x}}  + b_n \sin n {\color{blue}{x}}  \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n {\color{blue}{x}} \, d{\color{blue}{x}} $$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n {\color{blue}{x}} \, d{\color{blue}{x}} $$
で,$${\color{blue}{x}} \Rightarrow \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}, \quad d{\color{blue}{x}} \Rightarrow \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}}$$ と置き換えればよく,以下のようになる。
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \left(n \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}\right) + b_n \sin \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}\right) \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}} \right) \, \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}} $$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}} \right)\, \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}} $$

任意周期のフーリエ級数展開の例

区間 \([-1 : 1]\) で定義された関数 \(f(x) = x\) が,

 

区間外では周期 \(2\) の周期関数であるとして,

\(n = 3\) までのフーリエ級数展開を求める。