参考：一般のガウス関数あるいは正規分布関数について

ガウス関数

一般にガウス関数とは以下のような形：
$$ a \exp\left\{ -\frac{(x-b)^2}{2 c^2} \right\} $$

正規分布関数

特に正規分布関数とは
$$ N(\mu, \sigma^2) \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left\{ – \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$ であり，確率統計で最重要かつ中心的役割を果たす。

特に，
$$\int_{-\infty}^{\infty} N(\mu=0, \sigma^2 = 1/2)\, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 1$$ となり，ガウス積分。

$\mu, \ \sigma^2 $ が一般の場合でも，$\displaystyle y \equiv \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}, \ dy = \frac{dx}{\sqrt{2}\sigma} $ という変数変換を行うと，
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left\{ – \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} dx =
\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ -y^2\right\} dy = 1$$ となる。全区間での積分が1に規格化されていることから，この正規分布関数を確率密度関数とか，確率分布関数ということもある。すべての事象の起こりうる確率を足し上げると，全確率は1になるでしょ。

平均値

確率変数 $x$ が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき，$ x$ の平均値 $\langle x \rangle$ は（ $\displaystyle y \equiv \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}, \ dy = \frac{dx}{\sqrt{2}\sigma} $ という変数変換を使って）
\begin{eqnarray}
\langle x \rangle &=& \int_{-\infty}^{\infty} x N(\mu, \sigma^2) dx \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty}\bigl( (x – \mu) + \mu\bigr) N(\mu, \sigma^2) dx \\
&=& \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} y e^{-y^2} dy + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \\
&=& \mu
\end{eqnarray}
つまり，$\mu$ は確率変数 $x$ の平均値を表す。

分散

また，$ (x-\langle x \rangle)^2$ の平均値である分散は
$$\langle (x-\langle x \rangle)^2 \rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} (x-\langle x \rangle)^2 N(\mu, \sigma^2) dx = \cdots = \sigma^2$$ であることも簡単にわかる。つまり，$\sigma^2$ は確率変数 $x$ の分散を表す。

偏差値

さらには，この分散の平方根 $\sigma$ を標準偏差といい，これらから以下のような「偏差値」と呼ばれる値が定義される。
$$ T = \frac{10\times(x-\mu)}{\sigma} + 50$$ 昔の受験生（今も？）はこの「偏差値」という値に一喜一憂しながら，受験勉強をしていたのであった。