\( -\pi \le x \le \pi \) で定義された関数 \( f(x) = x^2 \) のフーリエ級数展開やってんかい！
区間 \( -\pi \le x \le \pi \) で定義された関数 \( f(x) = x^2 \) を，区間外では周期 $2\pi$ の周期関数とみなして…
フーリエ級数展開
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos n x + b_n \sin nx \bigr) $$
フーリエ係数：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \Bigl[ \frac{x^3}{3} \Bigr]_0^{\pi} = \frac{2}{3} \pi^2 $$
\(n \geq 1 \) に対して
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x\, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos n x\, dx \\
&=& \frac{1}{\pi}\Bigl[ x^2 \frac{1}{n} \sin n x \Bigr]_{-\pi}^{\pi} – \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2 x \frac{1}{n} \sin n x\, dx \\
&=& \frac{1}{\pi}\Bigl[ x^2 \frac{1}{n^2} \cos n x \Bigr]_{-\pi}^{\pi}- \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2 \frac{1}{n^2} \cos n x\, dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \times 2 \pi \frac{1}{n^2} \cos n \pi \\
&=& \frac{ 4 \cos n \pi}{n^2} = \frac{4\cdot (-1)^n}{n^2}
\end{eqnarray}
$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x\, dx =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin n x\, dx = 0$$ （被積分関数が奇関数だから。または \(f(x)\) が偶関数だから，奇関数である \(\sin n x\) のフーリエ係数 \(b_n\) は全てゼロ，といってもよい。）
\begin{eqnarray}
\therefore\ f(x) &=& \frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + a_2 \cos 2 x + a_3 \cos 3 x + a_4 \cos 4x + \cdots \\
&=& \frac{\pi^2}{3} – 4 \cos x + \cos 2 x – \frac{4}{9} \cos 3 x + \frac{1}{4} \cos 4 x + \cdots
\end{eqnarray}
動画で示すフーリエ級数展開 \(f(x) = x^2 \) の場合
$n=10$ までのフーリエ級数展開
