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参考：極座標による2重積分とヤコビアン

極座標による2重積分のとき，なぜ微小面積要素が \(dx\, dy \rightarrow rdr\,d\theta\) となるのか。

2次元極座標とヤコビアン

平行四辺形の対角線ベクトル $\overrightarrow{{PQ}}$ が2つの線形独立な 2 つのベクトルを使って

$$\overrightarrow{{PQ}} =  {\color{blue}{\boldsymbol{a}}} + {\color{red}{\boldsymbol{b}}}$$

と表されるとき，これら 2 つのベクトルからつくられる平行四辺形の面積 $S$ は

$$S = |{\color{blue}{\boldsymbol{a}}} \times {\color{red}{\boldsymbol{b}}}| = |{\color{blue}{\boldsymbol{a}}}|\,|{\color{red}{\boldsymbol{b}}}|\, \sin{\color{green}{\theta}}$$

となる。ここで ${\color{blue}{\boldsymbol{a}}} \times {\color{red}{\boldsymbol{b}}}$ はベクトル ${\color{blue}{\boldsymbol{a}}} $ とベクトル ${\color{red}{\boldsymbol{b}}}$ との外積であり，${\color{green}{\theta}}$ は2つのベクトルのなす角。

近接した 2 点 \(P(x, y), \ Q(x + dx, y + dy)\) を考える。2点を結ぶベクトルは
$$ \overrightarrow{{PQ}} = dx \,\boldsymbol{i} + dy\, \boldsymbol{j}$$
ここで，\(\boldsymbol{i}, \ \boldsymbol{j}\) はデカルト座標系の基本ベクトル。

一般に，2つのベクトルから作られる平行四辺形の面積はベクトルの外積を使って書けるから，この \(\overrightarrow{{PQ}}\) を対角線とする微小平行四辺形の面積 \(S\) は

$$ S = |dx\, \boldsymbol{i} \times dy\, \boldsymbol{j}| = dx\,dy\,|\boldsymbol{k}| = dx\,dy$$

 

座標変換
\begin{eqnarray}x = x(r, \theta) = r\cos\theta, \quad y = y(r, \theta)=r\sin\theta
\end{eqnarray}
によって，
\begin{eqnarray}\overrightarrow{PQ} &=& dx \,\boldsymbol{i} + dy\, \boldsymbol{j}\\
&=& \left(\frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta\right) \boldsymbol{i} +\left(\frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta\right) \boldsymbol{j}\\
&=&dr \left(\frac{\partial x}{\partial r} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial r}\boldsymbol{j}\right) + d\theta \left(\frac{\partial x}{\partial \theta} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial \theta}\boldsymbol{j}\right) \\
&\equiv& dr \,\boldsymbol{e}_r + d\theta\, \boldsymbol{e}_{\theta}
\end{eqnarray}

したがって，\(\overrightarrow{PQ}\) を対角線とする微小平行四辺形の面積 \(dS\) を極座標で表すと，
\begin{eqnarray} dS &=& |dr\,\boldsymbol{e}_r \times d\theta\,\boldsymbol{e}_{\theta} |\\
&=& dr\,d\theta \left| \left(\frac{\partial x}{\partial r} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial r}\boldsymbol{j}\right)\times \left(\frac{\partial x}{\partial \theta} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial \theta}\boldsymbol{j}\right)\right|\\
&=& dr\,d\theta\left(\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial \theta}\right) |\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}|\\
&=& dr\,d\theta\left(\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial \theta}\right) |\boldsymbol{k}|\\
&\equiv& dr\,d\theta \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
\end{eqnarray}

ここで，$$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} \equiv
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\\
\end{vmatrix}
= \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial \theta}$$ をヤコビアンという。

極座標への変換の場合はヤコビアンが以下のように計算できて
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \cos\theta\cdot r\,\sin\theta – \sin\theta\,\cdot (-r\,\sin\theta) = r$$
最終的に
$$ dS = dx\,dy = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} dr\,d\theta = r\, dr\,d\theta$$ となる。

一般の2次元の座標変換 $x = x(u,v), \ y = y(u, v)$ に対しても
$$ dS = dx\,dy = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} du\,dv$$

ということで，ヤコビアンというものがなぜ現れるのかを，ベクトルの外積が面積になるのだということから理解することができた。

3次元の座標変換とヤコビアン

また，3次元の座標変換 $x = x(u,v,w), \ y = y(u, v,w), \ z = z(u,v,w)$ についても，3つの線形独立なベクトル $\boldsymbol{a}, \ \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ から作られる立体（平行六面体）の体積 $V$ が

$$ V = \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$$

であることを使うと，微小体積要素 $dV$ が

$$ dV = dx\,dy\,dz = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} du\,dv\,dw$$

となることが示される。

微小変位ベクトル

$$d\boldsymbol{r} = dx \,\boldsymbol{i} + dy\,\boldsymbol{j} + dz\,\boldsymbol{k}$$

3本の（線形独立な）ベクトル $dx\, \boldsymbol{i}, \ dy\, \boldsymbol{j}, \ dz\,\boldsymbol{k}$ からつくられる微小な平行6面体の体積 $dV$ は

\begin{eqnarray}
dV &=& \left(dx\, \boldsymbol{i} \right) \cdot \left( \left(dy\, \boldsymbol{j} \right)\times\left(dz\,\boldsymbol{k} \right)\right) \\
&=& dx\,dy\, dz\, \boldsymbol{i} \cdot(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}) \\
&=& dx\,dy\, dz\, \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} \\
&=& dx\,dy\, dz
\end{eqnarray}

一方，座標変換

\begin{eqnarray}
x &=& x(u, v, w) \\
y &=& y(u, v, w) \\
z &=& z(u, v, w) \\
\end{eqnarray}

により，全微分は

\begin{eqnarray}
dx &=& \frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv +\frac{\partial x}{\partial w} dw \\
dy &=& \frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv +\frac{\partial y}{\partial w} dw \\
dz &=& \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv +\frac{\partial z}{\partial w} dw \\
\end{eqnarray}

となるから，微小変位ベクトルは以下のように書くことができる。

\begin{eqnarray}
d \boldsymbol{r}&=& dx \,\boldsymbol{i} + dy\,\boldsymbol{j} + dz\,\boldsymbol{k} \\
&=& \ \ \ \left(\frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv +\frac{\partial x}{\partial w} dw \right)\boldsymbol{i} \\
&& + \left(\frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv +\frac{\partial y}{\partial w} dw \right) \boldsymbol{j} \\
&& + \left(\frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv +\frac{\partial z}{\partial w} dw \right) \boldsymbol{k} \\
&=& du\, \boldsymbol{e}_u + dv\,\boldsymbol{e}_v + dw\, \boldsymbol{e}_w
\end{eqnarray}

ここで，

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_u&\equiv& \frac{\partial x}{\partial u} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial u} \boldsymbol{j} + \frac{\partial z}{\partial u} \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_v&\equiv& \frac{\partial x}{\partial v} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial v} \boldsymbol{j} + \frac{\partial z}{\partial v} \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_w&\equiv& \frac{\partial x}{\partial w} \boldsymbol{i} + \frac{\partial y}{\partial w} \boldsymbol{j} + \frac{\partial z}{\partial w} \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}

ということで，体積要素 $dV$ は3本のベクトル $du\, \boldsymbol{e}_u,\  dv\,\boldsymbol{e}_v,  \,  dw\, \boldsymbol{e}_w$ からつくられる平行6面体の体積としても表されるから

\begin{eqnarray}
dV = dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw \, \boldsymbol{e}_u \cdot(\boldsymbol{e}_v \times\boldsymbol{e}_w)
\end{eqnarray}

ベクトルのスカラー三重積は，3つのベクトルの成分を並べた $3\times 3$ 行列の（転置行列でも可）の行列式と等しいことはここでわかっているので

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_u \cdot(\boldsymbol{e}_v \times\boldsymbol{e}_w)
&=& \det \begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\
\frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w}
\end{pmatrix} \\
&=&
\det \begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}
\end{pmatrix} \\
&=& \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,z)}
\end{eqnarray}

したがって，

\begin{eqnarray}
dV = dx\,dy\,dz = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,z)} du\,dv\,dw
\end{eqnarray}

円筒座標とヤコビアン

\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos\phi \\
y &=& \rho \sin\phi \\
z &=& z
\end{eqnarray}

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho, \phi, z)} =\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho, \phi)} = \rho$$

したがって

$$dV = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho, \phi, z)} d\rho\,d\phi\, dz = \rho\, d\rho\,d\phi\, dz$$

極座標とヤコビアン

\begin{eqnarray}
x &=& r \sin\theta \cos\phi \\
y &=& r \sin\theta \sin\phi \\
z &=& r \cos\theta \\
\end{eqnarray}

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \phi)} = r^2 \sin\theta$$

したがって

$$dV = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \phi)} dr\, d\theta\, d\phi = r^2 dr\, \sin\theta\, d\theta\, d\phi$$

Maxima-Jupyter でヤコビアンの計算

 

2次元極座標とヤコビアン

\begin{eqnarray}
x &=& r\cos\phi \\
y &=& r\sin\phi
\end{eqnarray}

In [1]:
x: r * cos(phi);
y: r * sin(phi);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\cos \varphi\,r\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\sin \varphi\,r\]

Maxima の jacobian() は「関数行列」であり，「関数行列式」にするにはさらに determinant() をとる必要がある。

In [2]:
determinant(jacobian([x,y], [r,phi]))$
trigsimp(%);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}r\]

3次元円筒座標とヤコビアン

\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos\phi \\
y &=& \rho \sin\phi \\
z &=& z
\end{eqnarray}

In [3]:
x: rho * cos(phi);
y: rho * sin(phi);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\cos \varphi\,\rho\]
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\sin \varphi\,\rho\]
In [4]:
determinant(jacobian([x,y,z], [rho,phi,z]))$
trigsimp(%);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\rho\]

3次元極座標とヤコビアン

\begin{eqnarray}
x &=& r\sin\theta \cos\phi \\
y &=& r\sin\theta \sin\phi \\
z &=& r \cos\theta
\end{eqnarray}

In [5]:
x: r * sin(theta) * cos(phi);
y: r * sin(theta) * sin(phi);
z: r * cos(theta);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\cos \varphi\,r\,\sin \vartheta\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\sin \varphi\,r\,\sin \vartheta\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}r\,\cos \vartheta\]
In [6]:
determinant(jacobian([x,y,z], [r,theta,phi]))$
trigsimp(%);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}r^2\,\sin \vartheta\]

SymPy でヤコビアンの計算

モジュールの import

In [1]:
from sympy.abc import * 
from sympy import *

2次元極座標

\begin{eqnarray}
x &=& r \cos\theta\\
y &=& r \sin\theta
\end{eqnarray}

ヤコビ行列（関数行列）

jacobian は関数行列

In [2]:
xy = Matrix([r*cos(theta), r*sin(theta)])
rtheta = Matrix([r, theta])

jaco = xy.jacobian(rtheta)
jaco
Out[2]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\cos{\left(\theta \right)} & – r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$
ヤコビアン（関数行列式）

$$\frac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} \equiv
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\\
\end{vmatrix}
= \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} – \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial \theta}$$

In [3]:
det(jaco).simplify()
Out[3]:
$\displaystyle r$

3次元円筒座標

\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos\phi \\
y &=& \rho \sin\phi \\
z &=& z
\end{eqnarray}

ヤコビ行列（関数行列）
In [4]:
xyz = Matrix([rho*cos(phi), rho*sin(phi), z])
rhophiz = Matrix([rho, phi, z])

jaco = xyz.jacobian(rhophiz)
jaco
Out[4]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\cos{\left(\phi \right)} & – \rho \sin{\left(\phi \right)} & 0\\\sin{\left(\phi \right)} & \rho \cos{\left(\phi \right)} & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$
ヤコビアン（関数行列式）
In [5]:
det(jaco).simplify()
Out[5]:
$\displaystyle \rho$

3次元極座標

\begin{eqnarray}
x &=& r\sin\theta \cos\phi \\
y &=& r\sin\theta \sin\phi \\
z &=& r \cos\theta
\end{eqnarray}

ヤコビ行列（関数行列）
In [6]:
xyz = Matrix([r*sin(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)])
rthetaphi = Matrix([r, theta, phi])

jaco = xyz.jacobian(rthetaphi)
jaco
Out[6]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\sin{\left(\theta \right)} \cos{\left(\phi \right)} & r \cos{\left(\phi \right)} \cos{\left(\theta \right)} & – r \sin{\left(\phi \right)} \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\phi \right)} \sin{\left(\theta \right)} & r \sin{\left(\phi \right)} \cos{\left(\theta \right)} & r \sin{\left(\theta \right)} \cos{\left(\phi \right)}\\\cos{\left(\theta \right)} & – r \sin{\left(\theta \right)} & 0\end{matrix}\right]$
ヤコビアン（関数行列式）
In [7]:
det(jaco).simplify()
Out[7]:
$\displaystyle r^{2} \sin{\left(\theta \right)}$