ベクトルのスカラー三重積と行列式

ベクトルのスカラー三重積は，3つのベクトルの成分を並べた $3\times 3$ 行列の行列式と等しいことを Maxima-Jupyter で確認。微小体積要素とヤコビアンの説明の前準備用に。

ベクトルのスカラー三重積

ベクトルの外積

ベクトルの外積を計算する関数 cross() を以下のように，自分で定義してみます。

In [1]:
cross(u, v):=
           [u[2]*v[3] - u[3]*v[2],
            u[3]*v[1] - u[1]*v[3],
            u[1]*v[2] - u[2]*v[1]];
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}{\it cross}\left(u , v\right):=\left[ u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2} , u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3} , u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1} \right] \]

スカラー三重積

$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$$

In [2]:
a: [a1, a2, a3];
b: [b1, b2, b3];
c: [c1, c2, c3];
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ a_{1} , a_{2} , a_{3} \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ b_{1} , b_{2} , b_{3} \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ c_{1} , c_{2} , c_{3} \right] \]
In [3]:
s3juseki: a . cross(b, c), expand;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}a_{1}\,b_{2}\,c_{3}-a_{2}\,b_{1}\,c_{3}-a_{1}\,b_{3}\,c_{2}+a_{3}\,b_{1}\,c_{2}+a_{2}\,b_{3}\,c_{1}-a_{3}\,b_{2}\,c_{1}\]

行列式

3つのベクトルの成分を並べた行列 $V$ の行列式

In [4]:
V: matrix(a, b, c);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{pmatrix}\]
In [5]:
det: determinant(V), expand;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}a_{1}\,b_{2}\,c_{3}-a_{2}\,b_{1}\,c_{3}-a_{1}\,b_{3}\,c_{2}+a_{3}\,b_{1}\,c_{2}+a_{2}\,b_{3}\,c_{1}-a_{3}\,b_{2}\,c_{1}\]

スカラー三重積と行列式が等しいこと

$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) = \det A$ であることの確認。

In [6]:
is(equal(s3juseki, det));
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\mathbf{true}\]

転置行列の行列式

$\det V = \det {}^{t}V $ （$V$ の行列式と $V$ の転置行列 ${}^{t} V$ の行列式は等しいこと）の確認。

In [7]:
tV: transpose(V);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \\ \end{pmatrix}\]
In [8]:
is(equal(determinant(V), determinant(tV)));
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\mathbf{true}\]