全微分の練習問題として，3次元の「線素」を極座標で表してみる。
3次元極座標
3次元デカルト座標 $x, y, z$ を極座標 $r, \theta, \phi$ を使って表すと
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin\theta\, \cos\phi \\
y &=& r \sin\theta\, \sin\phi \\
z &=& r \cos\theta
\end{eqnarray}
1階偏微分
\begin{eqnarray}
\frac{\partial x}{\partial r} &=& \sin\theta\, \cos\phi \\
\frac{\partial x}{\partial \theta} &=& r \cos\theta\, \cos\phi \\
\frac{\partial x}{\partial \phi} &=& -r \sin\theta\, \sin\phi \\ \ \\
\frac{\partial y}{\partial r} &=& \sin\theta\, \sin\phi \\
\frac{\partial y}{\partial \theta} &=& r \cos\theta\, \sin\phi \\
\frac{\partial y}{\partial \phi} &=& r \sin\theta\, \cos\phi \\ \ \\
\frac{\partial z}{\partial r} &=& \cos\theta \\
\frac{\partial z}{\partial \theta} &=& -r \sin\theta\\
\frac{\partial z}{\partial \phi} &=& 0
\end{eqnarray}
全微分
\begin{eqnarray}
dx &=& \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial x}{\partial \phi}d\phi \\
&=& \sin\theta\, \cos\phi\, dr + r \cos\theta\, \cos\phi \, d\theta -r \sin\theta\, \sin\phi\,d\phi \\
dy &=& \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial y}{\partial \phi}d\phi \\
&=& \sin\theta\, \sin\phi\, dr + r \cos\theta\, \sin\phi \, d\theta + r \sin\theta\, \cos\phi\,d\phi \\
dz &=& \frac{\partial z}{\partial r} dr + \frac{\partial z}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial z}{\partial \phi}d\phi \\
&=& \cos\theta\, dr -r \sin\theta\, d\theta
\end{eqnarray}
極座標で表した線素
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ d\ell^2 &=& dx^2 + dy^2 + dz^2 \\
&=& \left(\sin\theta\, \cos\phi\, dr + r \cos\theta\, \cos\phi \, d\theta -r \sin\theta\, \sin\phi\,d\phi \right)^2 \\
&& + \left(\sin\theta\, \sin\phi\, dr + r \cos\theta\, \sin\phi \, d\theta + r \sin\theta\, \cos\phi\,d\phi \right)^2 \\
&& + \left(\cos\theta\, dr -r \sin\theta\, d\theta \right)^2 \\
&=& dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2 \,\sin^2\theta\, d\phi^2
\end{eqnarray}
参考：3次元極座標における計量テンソルの成分
このことは，のちに計量テンソルを使って説明されることになる（このへんとかこのへんを参照）。ここでは説明を省くのでなんのことかわからないとは思うが，将来，計量テンソルを学んだあとでこのページを見直してみると，3次元極座標における計量テンソルの成分が
$$ \left(\begin{array}{ccc}
g_{rr} & g_{r\theta}&g_{r\phi} \\
g_{\theta r} & g_{\theta\theta}&g_{\theta\phi} \\
g_{\phi r} & g_{\phi\theta}&g_{\phi\phi}
\end{array}\right)
= \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 &0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2 \sin^2\theta
\end{array}\right)
$$
であり，線素が
$$d\ell^2 = g_{rr} \,dr^2 + r_{\theta\theta} \,d\theta^2 + g_{\phi\phi} \,d\phi^2$$
のように書けていることがわかるようになると思う。