ラグランジュの未定乗数法（2次元）

$f(x,y)=0$ の条件のもとで，関数 $g(x,y)$ が極値をとる点 $(x,y)=(a,b)$ では，

$$F(x,y,\lambda )\equiv g(x,y)+\lambda f(x,y)$$

について

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial \lambda }=0$$

を満たすような定数 $\lambda$ が存在する。（以下の証明でわかるように，${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ と ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$ が同時にゼロになることはない，という条件がある。）

証明：パート 1

まず，点 $(x,y)=(a,b)$ で ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\ne 0}$ とする。このとき，$f(x,y)=0$ を満たす陰関数を $y=y(x)$ として，陰関数定理より

$$\frac{dy}{dx}=–\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$$

この陰関数 $y=y(x)$ を使うと，$g(x,y)=g(x,y(x))$ となり関数 $g$ は $x$ のみの1変数関数となる。したがって $g(x,y)$ が極値をとる点では

$$\begin{array}{rcl}\frac{dg}{dx}& =& \frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{dy}{dx}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot (-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}})\\ & =& \frac{\partial g}{\partial x}+(-\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial y}})\frac{\partial f}{\partial x}=0\text{at}(x,y)=(a,b)\\ \text{ここで}\lambda & \equiv & -\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\text{とおくと}\\ \frac{\partial g}{\partial x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}& =& 0\text{at}(x,y)=(a,b)\\ \therefore \frac{\partial F}{\partial x}& =& 0\text{at}(x,y)=(a,b)\end{array}$$

また，${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}}$ については，${\displaystyle \lambda =-\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial y}}}$ を使うと，

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial F}{\partial y}& =& \frac{\partial g}{\partial y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial y}+(-\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial y}})\frac{\partial f}{\partial y}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial y}\\ & =& 0\end{array}$$

最後に ${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \lambda }}$ については，そもそもの拘束条件 $f(x,y)=0$ より

$$\frac{\partial F}{\partial \lambda }=f(x,y)=0$$

となり，

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial \lambda }=0$$

を満たすような定数 $\lambda$ が存在することが示された。

証明：パート 2

点 $(x,y)=(a,b)$ で ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=0}$ の場合は，${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\ne 0}$ であるから，$f(x,y)=0$ を満たす陰関数を $x=x(y)$ としてやれば同様に証明できる。

まず，点 $(x,y)=(a,b)$ で ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\ne 0}$ とする。このとき，$f(x,y)=0$ を満たす陰関数を $x=x(y)$ として，陰関数定理より

$$\frac{dx}{dy}=–\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}$$

この陰関数 $y=y(x)$ を使うと，$g(x,y)=g(x(y),y)$ となり関数 $g$ は $y$ のみの1変数関数となる。したがって $g(x,y)$ が極値をとる点では

$$\begin{array}{rcl}\frac{dg}{dy}& =& \frac{\partial g}{\partial x}\frac{dx}{dy}+\frac{\partial g}{\partial y}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial x}\cdot (-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}})\\ & =& \frac{\partial g}{\partial y}+(-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x}})\frac{\partial f}{\partial y}=0\text{at}(x,y)=(a,b)\\ \text{ここで}\lambda & \equiv & -\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\text{とおくと}\\ \frac{\partial g}{\partial y}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}& =& 0\text{at}(x,y)=(a,b)\\ \therefore \frac{\partial F}{\partial y}& =& 0\text{at}(x,y)=(a,b)\end{array}$$

また，${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}}$ については，${\displaystyle \lambda =-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x}}}$ を使うと，

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial F}{\partial x}& =& \frac{\partial g}{\partial x}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial x}+(-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x}})\frac{\partial f}{\partial x}\\ & =& \frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial x}\\ & =& 0\end{array}$$

最後に ${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \lambda }}$ については，そもそもの拘束条件 $f(x,y)=0$ より

$$\frac{\partial F}{\partial \lambda }=f(x,y)=0$$

となり，

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial \lambda }=0$$

を満たすような定数 $\lambda$ が存在することが示された。