フーリエ級数

区間 $-\pi \le x \le \pi$ で定義された関数 $f(x)$ は，それがどんな関数であっても（区間外では，周期 $ 2\pi $ の周期関数とみなして），三角関数 $ \cos, \ \sin $ の重ね合わせで表すことができる。

フーリエ係数とフーリエ級数展開

区間 $-\pi \le x \le \pi$ で定義された関数 $f(x)$ は，それがどんな関数であっても…
（区間外では，周期 $ 2\pi $ の周期関数とみなして）
三角関数 $\cos, \ \sin$ の重ね合わせて表すことができる！

つまり，以下のように書けるということ。
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos (n x) + b_n \sin (n x) \bigr) $$
ここで，$a_0, a_1, \cdots, b_1, b_2, \cdots$ をフーリエ係数と呼び，このような表示を関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開という。

ある関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開を求めよ，という問題は，つまり，$f(x)$ をうまく表すようにフーリエ係数 $a_n, b_n$ を求めよ，ということになる。先に答えを書いておくと…

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (n x) \, dx $$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (n x) \, dx $$

以下は，なんでこうなるかという話。まず，フーリエ係数を求めるときに使うのが「三角関数の直交性」という性質である。

基本ベクトルの直交性を例え話に

3次元ベクトルは一般に $$\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k}$$ のように，基本ベクトル $ \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ と成分 $ a_x, a_y, a_z $ で書けるのであった。

この基本ベクトルは大きさが $1$ で互いに直交している。
$$\boldsymbol{e}_1 \equiv \boldsymbol{i}, \quad \boldsymbol{e}_2 \equiv \boldsymbol{j}, \quad \boldsymbol{e}_3 \equiv \boldsymbol{k}$$ と書くと，この正規直交性は以下のように書ける。
$$ \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = \delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & (i = j) \\
0 & (i \neq j)
\end{cases}
$$ ここで，$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタと呼ばれる記号で，$i$ と $j$ が等しいときに $1$，そうでないときは $0$ を与える。このことは，つまり直交していることを表しているんだと理解してください。

さらに，ベクトルの成分を $$a_1 \equiv a_x, \quad a_2 \equiv a_y, \quad a_3 \equiv a_z$$ のように書き換えると，
$$ \boldsymbol{a} = \sum_{i=1}^{3} a_i \boldsymbol{e}_i $$ であり，この両辺に $\boldsymbol{e}_j$ を内積としてかけてやると，
$$ \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{e}_j = \sum_{i=1}^{3} a_i \boldsymbol{e}_i\cdot \boldsymbol{e}_j = \sum_{i=1}^{3} a_i \delta_{ij} = a_j$$ つまり，成分 $a_j$ が以下のような内積によって求められる。
$$ a_j = \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{e}_j $$

補足：クロネッカーのデルタがらみの計算に関して

学生からの質問があったので，念のためにクロネッカーのデルタがらみの計算について補足しておく。以下のようになることがすぐにはわからない場合：

$$\sum_{i=1}^{3} a_i \,\delta_{ij} = a_j$$

まず $\color{red}{j=1}$ として左辺を計算してみると，

\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{3} a_i \,\delta_{i{\color{red}{1}}} &=& a_1\, \delta_{1{\color{red}{1}}} + a_2\, \delta_{2{\color{red}{1}}} + a_3 \, \delta_{3{\color{red}{1}}} \\
&=& a_1\cdot 1 + a_2\cdot 0 + a_3 \cdot 0\\
&=& a_{{\color{red}{1}}}
\end{eqnarray}

$\color{red}{j=2}$ の場合は，

\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{3} a_i \,\delta_{i{\color{red}{2}}} &=& a_1\, \delta_{1{\color{red}{2}}} + a_2\, \delta_{2{\color{red}{2}}} + a_3 \, \delta_{3{\color{red}{2}}} \\
&=& a_1\cdot 0 + a_2\cdot 1 + a_3 \cdot 0\\
&=& a_{\color{red}{2}}
\end{eqnarray}

となるし，$\color{red}{j=3}$ の場合は，

\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{3} a_i \,\delta_{i{\color{red}{3}}} &=& a_1\, \delta_{1{\color{red}{3}}} + a_2\, \delta_{2{\color{red}{3}}} + a_3 \, \delta_{3{\color{red}{3}}} \\
&=& a_1\cdot 0 + a_2\cdot 0 + a_3 \cdot 1\\
&=& a_{\color{red}{3}}
\end{eqnarray}

だから，$\color{red}{j = 1, 2, 3}$ のすべての場合に

$$\sum_{i=1}^{3} a_i \,\delta_{i{\color{red}{j}}} = a_{\color{red}{j}}$$

成り立っているのだなぁ，と理解する。

三角関数の「直交性」

コサイン同士

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \, \cos (n x)\, dx &=& \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}
\Bigl\{\cos\bigl((m+n)x\bigr) + \cos \bigl((m-n)x\bigr)
\Bigr\} \,dx \\
&=& \pi \delta_{mn} = \begin{cases}
\pi & (m = n) \\
0 & (m \neq n)
\end{cases}
\end{eqnarray} これを以下のように読む：コサインは自分自身との（内積に相当する）積分が$\pi$，それ以外（との内積に相当する積分）はゼロ。

補足：$\cos (ax)$ の積分に関して

学生から質問があったので。任意の定数 $a$ に対して

$$\int_{-\pi}^{\pi}\ \cos (a x)\, dx = \biggl[\frac{\sin (a x)}{a}\biggr]_{-\pi}^{\pi}$$

となるのは，$a \neq 0$ のとき。$a = 0$ のときには分母がゼロになるのは困るので別途，

$$\int_{-\pi}^{\pi}\ \cos (0\cdot x)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \ 1\, dx = \bigl[x\bigr]_{-\pi}^{\pi}$$

このへんが理解できると

\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}
\ \cos \bigl((m-n)x\bigr)
\,dx
&=& \begin{cases}
\pi & (m = n) \\
0 & (m \neq n)
\end{cases}
\end{eqnarray}

も問題ないでしょ？

サインとコサイン

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \, \cos (n x)\, dx &=& \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}
\Bigl\{\sin \bigl((m+n)x\bigr) + \sin \bigl((m-n)x\bigr)
\Bigr\} \,dx \\
&=& 0
\end{eqnarray}

これを以下のように読む：サインとコサインとの（内積に相当する）積分はゼロ。被積分関数が奇関数となるから，$-\pi$ から $\pi$ までの積分はゼロになることは簡単だね。

サイン同士

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \, \sin (n x)\, dx &=& \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}
\Bigl\{\cos \bigl((m-n)x\bigr) – \cos \bigl((m+n)x\bigr)
\Bigr\} \,dx \\
&=& \pi \delta_{mn} = \begin{cases}
\pi & (m = n) \\
0 & (m \neq n)
\end{cases}
\end{eqnarray}これを以下のように読む：サインは自分自身との（内積に相当する）積分が$\pi$，それ以外（との内積に相当する積分）はゼロ。

かたや基本ベクトルは3次元ベクトルの内積，かたや三角関数は区間 $-\pi \le x \le \pi $ の積分ではあるが，同じもの同士の場合は値を持ち，それ以外の場合はゼロという意味で「直交性」ということが理解できる，と思いますがどうでしょう？

三角関数の直交性を利用してフーリエ係数を求める

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos (n x) + b_n \sin (n x) \bigr) $$ の式の両辺に $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \, \cos (m x) \, dx$ を「かける」と…
$$ m = 0: \quad \int_{-\pi}^{\pi} \, f(x) \, \cos (m x)\, dx = \pi\, a_0$$
$$ m \geq 1: \quad \int_{-\pi}^{\pi} \,f(x) \, \cos (m x)\, dx = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\, \pi \delta_{nm} = \pi\, a_m$$

同様に，
$$ m \geq 1: \quad \int_{-\pi}^{\pi} \,f(x) \, \sin (m x)\, dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\, \pi \delta_{nm} = \pi\, b_m$$

補足：クロネッカーのデルタがらみの計算に関して

ここも学生から質問がありそうなので。$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\, \delta_{nm} = a_m$ を理解するには，たとえば以下のように：

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n\, \delta_{nm} &=& \sum_{n=1}^{m -1} a_n\, \delta_{nm} + a_m\, \delta_{mm} + \sum_{n=m+1}^{\infty} a_n\, \delta_{nm} \\
&=& \sum_{n=1}^{m -1} a_n\cdot 0 + a_m \cdot 1 + \sum_{n=m+1}^{\infty} a_n\cdot 0 \\
&=& a_m
\end{eqnarray}