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陰関数定理

2変数関数の偏微分の応用として,陰関数定理を紹介する。
\(f(x, y) =0\) を満たす陰関数 \(y = y(x)\) の微分は以下のように書ける。
$$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$$


陽関数,陰関数

\(z = f(x, y)\) において,\(f(x, y) = 0\) という条件をつけると,2つの変数 \(x, y\) は独立ではなく,\(x\) の値を与えると,\(y\) の値が決まってしまう。つまり,\(y\) は \(x\) の関数となる:
$$ f(x, y) = 0 \quad\Rightarrow\quad y = y(x)$$

実際に,\(f(x, y) = 0\) から,\(y = y(x)\) とあからさまに解けるのであれば,「\(y\) は \(x\) の陽関数で書ける」という。たとえ,\(y = g(x)\) とあからさまに書くことができなくても,\(f(x,y) = 0\) という条件によって, \(y\) は \(x\) の関数であることはわかる。このとき,\(y=y(x)\) を \(f(x, y) = \) を満たす「陰関数」という。
つまり,$$ f(x, y(x)) = 0$$

陰関数の微分:陰関数定理

\(f(x, y) =0\) を満たす陰関数 \(y = y(x)\) の微分は以下のように書ける。
$$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$$

証明

\( f(x, y) = f(x, y(x)) = 0 \) を\(x\) で微分して $$ \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$$

$$\therefore\ \ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }$$

陰関数定理の例題

斜方投射を陰関数定理で

斜方投射の最大水平到達距離を陰関数定理を使って求める練習問題。