参考：人類の至宝 : オイラーの公式

（あんたの公式ではなく）オイラーの公式とは，

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

テイラー展開（マクローリン展開）によるオイラーの公式の証明

指数関数の肩が実数だろうが虚数だろうが，テイラー展開（$x=0$  のまわりの展開なので特にマクローリン展開ともいう）はできるので

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(x)x+\frac{1}{2}{f}^{”}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n+\cdots$$

の公式に従って，

$$e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots$$

$x=i\theta$ を入れると

$$\begin{array}{rcl}{e}^{i\theta }& =& 1+i\theta +\frac{1}{2!}(i\theta {)}^2+\frac{1}{3!}(i\theta {)}^3+\frac{1}{4!}(i\theta {)}^4+\frac{1}{5!}(i\theta {)}^5+\cdots \\ & =& 1–\frac{1}{2!}{\theta }^2+\frac{1}{4!}{\theta }^4–\cdots \\ & & +i\left\{\theta –\frac{1}{3!}{\theta }^3+\frac{1}{5!}{\theta }^5–\cdots \right\}\end{array}$$

一方，$\cos \theta ,\sin \theta$ のテイラー展開が

$$\cos \theta =1–\frac{1}{2!}{\theta }^2+\frac{1}{4!}{\theta }^4–\cdots$$

$$\sin \theta =\theta –\frac{1}{3!}{\theta }^3+\frac{1}{5!}{\theta }^5–\cdots$$

であることを使うと，以下のように書けることがわかる。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

これこそが，人類の至宝！オイラーの公式である！

オイラーの等式

$\theta =\pi$ のときのオイラーの公式は，以下のようになり，

$$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$$$$\therefore e^{i\pi }+1=0$$

特にこの式をオイラーの等式と呼んでいる。オイラーの等式の何がすごいかというと

• ゼロ $0$，単位元 $1$ という整数のもっとも基本となる数
• 無理数の代表選手，円周率 $\pi$，自然対数の底 $e$
• そして虚数単位 $i$

という役者が，加法，乗法，指数関数によって見事に結び付けられているということ！

オイラーの公式からみた三角関数と双曲線関数の関係

オイラーの公式$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$ と， $\theta$ を$-\theta$ にした $$e^{-i\theta }=\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )=\cos \theta –i\sin \theta$$ を足したり引いたりすると，以下のように書けることがわかる。

$$\begin{array}{rcl}\cos \theta & =& \frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}\\ \sin \theta & =& \frac{e^{i\theta }–e^{-i\theta }}{2i}\end{array}$$

一方，双曲線関数は以下のように定義されていた。

$$\begin{array}{rcl}\cosh x& =& \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \sinh x& =& \frac{e^x–e^{-x}}{2}\end{array}$$

三角関数や双曲線関数の変数が虚数でもいいのだと拡張すると，

$$\begin{array}{rcl}\cosh (i\theta )& =& \frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}=\cos \theta \\ \sinh (i\theta )& =& \frac{e^{i\theta }–e^{-i\theta }}{2}=i\sin \theta \\ \cos (ix)& =& \frac{e^{i\cdot ix}+e^{-i\cdot ix}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x\\ \sin (ix)& =& \frac{e^{i\cdot ix}–e^{-i\cdot ix}}{2i}=i\frac{e^x–e^{-x}}{2}=i\sinh x\end{array}$$

これらが，三角関数と双曲線関数のアイがある関係である。

三角関数と双曲線関数は，ただまぎらわしいほどに似た表記なだけでなく，密接な（アイのある）関係なのだということがわかると思う。

ありがとう! オイラーの公式!!