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1階線形微分方程式と積分因子法

一般的な1階線形微分方程式は,以下のような形。

$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = Q(x)
$$

未知関数(これから求める関数)\(y(x)\) を含む項を全て左辺にもっていっても,右辺がゼロとなっていない「非同次方程式」。

特に,右辺,\(Q(x) = 0\) なら「同次方程式」:

$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = 0
$$

この形なら,変数分離法で解くことができたよね!

積分因子法

一般的な1階線形微分方程式(非同次方程式の格好しているもの)

$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = Q(x)
$$

の両辺に適当な関数 \(g(x)\) をかけると

$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = g(x)\,Q(x)
$$

この \(g(x) \) をうまくとって、左辺が以下のような形(なにかの関数の掛け算でもいいから、ひとかたまりとなった全体を \(x\) で微分した形)になるようにする。

$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = \frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)
$$

そうすると、もともとの式は

$$
\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)= g(x)\,Q(x)
$$

さて、\( g(x) \) は以下の式を満たすように決めるのであった。

$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = \frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)
$$

この両辺をあらためて計算してみると,

\begin{eqnarray}
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) &=&
g(x) \frac{dy}{dx} + g(x)\,P(x)\, y \\
\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right) &=& g(x) \frac{dy}{dx} + \frac{dg}{dx} y
\end{eqnarray}

であるから,両辺をみくらべると,\(g(x)\) は

$$ \frac{dg}{dx} = P(x)\, g(x)
$$

を満たさないといけない。これは \(g(x)\) についての微分方程式であり,変数分離法を使って次のように解くことができる。

$$\frac{dg}{g} = P(x)\, dx$$

 

$$\int \frac{dg}{g} = \int^x P(x’)\, dx’$$

$$ \ln |g| = \int^x P(x’)\, dx’$$

$$ |g| = \exp\left\{ \int^x P(x’)\, dx’\right\}$$

\(g > 0\) の場合を考えれば十分であるので(なぜかって?以下の補足を参照。)

$$ g(x) = \exp\left\{ \int^x P(x’)\, dx’ \right\} $$

積分因子と呼ばれるこの関数 \(g(x) \) がわかると,もとの1階線形微分方程式は

$$\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right) = g(x)\,Q(x) $$

であるから,両辺を \(x\) で積分したのちに \(g(x) \) でわって,

$$ y = \frac{1}{g(x)} \left\{ \int^x g(x’)\,Q(x’)\, dx’ + C \right\} $$

となる。以上が積分因子法による1階線形微分方程式の解法である。

補足:積分因子における定数倍の任意性について

積分因子 \(g(x)\) の役割とは,微分方程式

$$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

の両辺に\(g(x)\)をかけて

$$\frac{d}{dx}\bigl( g(x) y(x) \bigr) = g(x) Q(x) $$

の形にする,ということであった。今,この式の両辺に定数 \( K\) をかけると

$$\frac{d}{dx}\bigl( K g(x) y(x) \bigr) = K g(x) Q(x) $$

これは,\( g'(x) \equiv K g(x) \) で定義される \(g'(x)\) もまた積分因子であるということを意味する:

$$\frac{d}{dx}\bigl( g'(x) y(x) \bigr) = g'(x) Q(x) $$

つまり,積分因子は唯一無二に決まるのではなく,任意の定数をかけてもよいことになる。これを業界用語で,「積分因子には定数倍の任意性がある」という。