偏微分：多変数関数の微分

うちの学科というか学部では，2年次前期開講のこの授業「理工系の数学C」で偏微分を教えることになっているが，実際には，その前，1年次後期の「電磁気学I」で偏微分が必要になるため，「電磁気学I」のなかで時間をさいて偏微分やベクトル解析を教えている。以下の口上は「電磁気学I」の偏微分の項からの抜粋。

人生になぜ「偏微分」が必要か？

高校で習った，そして「理工系の数学B」でもやった「微分」は1変数関数 $f(x)$ に対する微分：
$$\frac{df}{dx} \equiv \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

我々の住む世界は3次元空間であり，（デカルト座標系をとると） $x, y, z$ の3つの空間座標（変数）で記述される。また，一般に物理量は時間とともに変化するから，時間座標 $t$ にも依存する。つまり，我々が電磁気学などで扱う物理量は $f(x, y, z, t)$ のように一般的には4つの変数に依存する多変数関数である。多変数関数の微分として「偏微分」がある。

ここでは，多変数関数のうち，もっとも簡単な2変数関数 $f(x, y)$ を例に，電磁気学I でやった偏微分についておさらいしておく。

偏導関数

2変数関数 $ z = f(x, y) $ の偏微分 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial f}{\partial y} $ の定義のまとめ。

偏導関数の表記

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ を表す別の書き方のまとめ。テキストによっては，2変数関数 $z = f(x,y)$ の $x$-偏導関数を以下のような記号・表記で表す場合がある。

$$ \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial x} f(x, y), \quad f_x, \quad f_x(x,y)$$

全微分

$$ dz \equiv f(x + dx, y + dy) – f(x, y) $$ で定義される $ dz$ を関数 $z$ の全微分という。

2変数関数 $f(x, y)$ のテイラー展開は，$h, \ k$ を（小さい）変数として， \begin{eqnarray} f(x+h, y+k) = f(x,y) &\,+& \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) \\ &+& \frac{1}{2!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) + \cdots \\ &+& \frac{1}{n!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x,y) + \cdots \end{eqnarray}

合成関数の偏微分法

2変数関数 $z = f(x, y)$ において，$x = x(t), \ y = y(t)$ の場合，$ x = x(u, v), \ y = y(u, v)$ の場合，などにおける微分・偏微分について。

陰関数定理

2変数関数の偏微分の応用として，陰関数定理を紹介する。 $f(x, y) =0$ を満たす陰関数 $y = y(x)$ の微分は以下のように書ける。 $$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$$

ラグランジュの未定乗数法（2次元）

$f(x, y) = 0$ の条件のもとで，関数 $g(x, y)$ が極値をとる点 $(x, y) = (a, b)$ では，

$$F(x, y, \lambda) \equiv g(x, y) + \lambda\, f(x, y)$$

について

$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$

を満たすような定数 $\lambda$ が存在する。（以下の証明でわかるように，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ と $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ が同時にゼロになることはない，という条件がある。）