微分方程式とは？微分方程式を解くとは？
次のようなクイズを考える。
ある関数があります。この関数を\(x\)で微分すると，\(\cos x\) になりました。さて，その関数とは一体なんでしょう？
このクイズに答えること，これが微分方程式を解く，ということ。
現実の人生で難しいのは，文章題を解ける形の式にすること。やってみます。
解答例：
求める関数を \(y(x)\) とおく。題意より
\[
\frac{dy}{dx} = \cos x
\]
これが微分方程式。未知関数 \(y \)の1階微分を含むから1階。\(y\) について線形だから（\(y\)の1乗のみを含むから）線形。微分は \(x\) のみについての常微分 \(\frac{d}{dx}\) だから，最終的に1階線形常微分方程式。（「常微分」とは聞きなれない言葉かもしれませんが，今後習うであろう多変数関数の微分である「偏微分」と区別するために使われる用語。）
どうやって解くか
（このような簡単な場合は）両辺を\(x\)で積分します。
\[
\int \frac{dy}{dx} \,dx = \int \cos x\,dx
\]
これはすぐに積分できて，
\[ y = \sin x + C \]
ここで，\(C\)は積分定数。この積分定数を含む解のことを微分方程式の一般解という。
積分定数
積分定数は任意の値をとりうる。（どんな定数の値だって微分したらゼロだから。）この積分定数を一意に決めるのに，初期条件とか境界条件とか言われる条件をつけることができる。
例えば，上の例で，初期条件として \( x = 0\) のときの \(y\) の値が \(y(0) = 0\) であるとすると，\( C = 0\) と決まります。
単に両辺を積分すればよいというものではない
次の微分方程式を解け。
\[ \frac{dy}{dx} = – 2 x\, y \]
悪い例（これだとうまく解けない例）：
これも両辺を\(x\)で積分すると…
\[ \int \frac{dy}{dx} \,dx = – 2\int x\,y \, dx \]
左辺は \(y\)，右辺は… って未知の（これから求める）関数 \(y\) が入っているので積分できません。つまり，微分方程式は両辺を積分すれば簡単に解ける… というものだけではない，ということ。この微分方程式を解く方法については，以下の「変数分離法」の項を参照のこと。