補足：逆三角関数があらわれる積分について

逆三角関数の微分

逆三角関数 $y={\sin }^{-1}x$ は 三角関数 $x=\sin y$ の逆関数として定義される。その微分は（学部1年生で以下のように教える）
$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}x& =& \frac{dy}{dx}\\ & =& \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ & =& \frac{1}{\cos y}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1–{\sin }^{2}y}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \therefore \frac{d}{dx}{\sin }^{-1}x& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$
同様にして，以下もわかる。
$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}{\cos }^{-1}x& =& –\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

逆三角関数があらわれる積分公式

上記の微分結果から，大学1年で習う積分公式（結果が逆三角関数で書けるやつ）は
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\sin }^{-1}x,-\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\cos }^{-1}x$$

と教わったかもしれない。でもこれだと，同じ積分 ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$ の答えが ${\sin }^{-1}x$ でもいいし，$-{\cos }^{-1}x$ でもいいことになり，一意に決まらないように思えるが，その辺は積分定数で吸収できることを示しておこう。

弱重力場近似：$r_g$ のゼロ次解のところで出てきた微分方程式の変数分離形

$$\pm \frac{d(b{u}_0)}{\sqrt{1–(b{u}_0{)}^2}}=d\varphi$$

を思い出すと，この解は
$${\sin }^{-1}(b{u}_0)=\varphi +C_1,\therefore u_0=\frac{\sin (\varphi +C_1)}{b}$$ または
$${\cos }^{-1}(b{u}_0)=\varphi +C_2,\therefore u_0=\frac{\cos (\varphi +C_2)}{b}$$ のどちらかとなるが，積分定数を適宜とって $C_2=C_1–\frac{\pi }{2}$ としてやれば
$$\frac{\cos (\varphi +C_2)}{b}=\frac{\cos (\varphi +C_1–\frac{\pi }{2})}{b}=\frac{\sin (\varphi +C_1)}{b}$$ となることから，一般に
$$u_0=\frac{\sin (\varphi +C)}{b}$$ としてよい。

もっと直接的には，

$${\cos }^{-1}x+{\sin }^{-1}x=\frac{\pi }{2},{\cos }^{-1}x=\frac{\pi }{2}–{\sin }^{-1}x$$

という関係があり，${\cos }^{-1}x$ の微分が ${\sin }^{-1}x$ の微分にマイナスがついたものであることは，このことから明らかであろう。

Maxima-Jupyter での確認例

'diff(asin(x), x) = diff(asin(x), x);

'diff(acos(x), x) = diff(acos(x), x);

'integrate(1/sqrt(1-x**2), x) = 
 integrate(1/sqrt(1-x**2), x);

cos(%pi/2 - asin(x));