一般的な1階線形微分方程式は，以下のような形。
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = Q(x)
$$
未知関数（これから求める関数）\(y(x)\) を含む項を全て左辺にもっていっても，右辺がゼロとなっていない「非同次方程式」。
特に，右辺，\(Q(x) = 0\) なら「同次方程式」：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = 0
$$
この形なら，変数分離法で解くことができたよね！
積分因子法
一般的な1階線形微分方程式（非同次方程式の格好しているもの）
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)\, y = Q(x)
$$
の両辺に適当な関数 \(g(x)\) をかけると
$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = g(x)\,Q(x)
$$
この \(g(x) \) をうまくとって、左辺が以下のような形（なにかの関数の掛け算でもいいから、ひとかたまりとなった全体を \(x\) で微分した形）になるようにする。
$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = \frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)
$$
そうすると、もともとの式は
$$
\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)= g(x)\,Q(x)
$$
さて、\( g(x) \) は以下の式を満たすように決めるのであった。
$$
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) = \frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right)
$$
この両辺をあらためて計算してみると，
\begin{eqnarray}
g(x) \left( \frac{dy}{dx} + P(x)\, y \right) &=&
g(x) \frac{dy}{dx} + g(x)\,P(x)\, y \\
\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right) &=& g(x) \frac{dy}{dx} + \frac{dg}{dx} y
\end{eqnarray}
であるから，両辺をみくらべると，\(g(x)\) は
$$ \frac{dg}{dx} = P(x)\, g(x)
$$
を満たさないといけない。これは \(g(x)\) についての微分方程式であり，変数分離法を使って次のように解くことができる。
$$\frac{dg}{g} = P(x)\, dx$$
$$\int \frac{dg}{g} = \int^x P(x’)\, dx’$$
$$ \ln |g| = \int^x P(x’)\, dx’$$
$$ |g| = \exp\left\{ \int^x P(x’)\, dx’\right\}$$
\(g > 0\) の場合を考えれば十分であるので（なぜかって？以下の補足を参照。）
$$ g(x) = \exp\left\{ \int^x P(x’)\, dx’ \right\} $$
積分因子と呼ばれるこの関数 \(g(x) \) がわかると，もとの1階線形微分方程式は
$$\frac{d}{dx} \left(g(x)\, y\right) = g(x)\,Q(x) $$
であるから，両辺を \(x\) で積分したのちに \(g(x) \) でわって，
$$ y = \frac{1}{g(x)} \left\{ \int^x g(x’)\,Q(x’)\, dx’ + C \right\} $$
となる。以上が積分因子法による1階線形微分方程式の解法である。
補足：積分因子における定数倍の任意性について
積分因子 \(g(x)\) の役割とは，微分方程式
$$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$
の両辺に\(g(x)\)をかけて
$$\frac{d}{dx}\bigl( g(x) y(x) \bigr) = g(x) Q(x) $$
の形にする，ということであった。今，この式の両辺に定数 \( K\) をかけると
$$\frac{d}{dx}\bigl( K g(x) y(x) \bigr) = K g(x) Q(x) $$
これは，\( g'(x) \equiv K g(x) \) で定義される \(g'(x)\) もまた積分因子であるということを意味する：
$$\frac{d}{dx}\bigl( g'(x) y(x) \bigr) = g'(x) Q(x) $$
つまり，積分因子は唯一無二に決まるのではなく，任意の定数をかけてもよいことになる。これを業界用語で，「積分因子には定数倍の任意性がある」という。