（あんたの公式ではなく）オイラーの公式とは，
$$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
テイラー展開（マクローリン展開）によるオイラーの公式の証明
指数関数の肩が実数だろうが虚数だろうが，テイラー展開（\(x=0\) のまわりの展開なので特にマクローリン展開ともいう）はできるので
$$f(x) = f(0)+ f'(x) x + \frac{1}{2} f^{”}(0) x^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(0) x^n + \cdots$$
の公式に従って，
$$ e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{4!} x^4 + \cdots$$
\( x = i \theta \) を入れると
\begin{eqnarray}
e^{i \theta} &=&1 + i\theta + \frac{1}{2!}(i\theta)^2 + \frac{1}{3!} (i\theta)^3 + \frac{1}{4!}(i\theta)^4 + \frac{1}{5!}(i\theta)^5 + \cdots\\
&=& {\color{red}{1 – \frac{1}{2!} \theta^2 + \frac{1}{4!} \theta^4 – \cdots}} \\
&& + i\left\{ {\color{blue}{ \theta – \frac{1}{3!} \theta^3 + \frac{1}{5!} \theta^5 – \cdots}}\right\}
\end{eqnarray}
一方，\(\cos \theta, \sin \theta\) のテイラー展開が
$$\cos \theta = \color{red}{1 – \frac{1}{2!} \theta^2 + \frac{1}{4!} \theta^4 – \cdots}$$
$$\sin \theta = \color{blue}{\theta – \frac{1}{3!} \theta^3 + \frac{1}{5!} \theta^5 – \cdots}$$
であることを使うと，以下のように書けることがわかる。
$$e^{i \theta} = {\color{red}{\cos \theta}} + i\, {\color{blue}{\sin\theta}}$$
これこそが，人類の至宝！オイラーの公式である！
オイラーの等式
\( \theta = \pi \) のときのオイラーの公式は，以下のようになり，
$$ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$$$\therefore e^{i \pi} + 1 = 0$$
特にこの式をオイラーの等式と呼んでいる。オイラーの等式の何がすごいかというと
- ゼロ \(0\)，単位元 \(1\) という整数のもっとも基本となる数
- 無理数の代表選手，円周率 \(\pi\)，自然対数の底 \(e\)
- そして虚数単位 \(i\)
という役者が，加法，乗法，指数関数によって見事に結び付けられているということ！
オイラーの公式からみた三角関数と双曲線関数の関係
オイラーの公式$$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$$ と， \(\theta\) を\(-\theta\) にした $$e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos\theta – i \sin\theta$$ を足したり引いたりすると，以下のように書けることがわかる。
\begin{eqnarray}
\cos\theta &=& \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\
\sin\theta &=& \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2 i}
\end{eqnarray}
一方，双曲線関数は以下のように定義されていた。
\begin{eqnarray}
\cosh x &=& \frac{e^x + e^{-x}}{2}\\
\sinh x &=& \frac{e^x – e^{-x}}{2}
\end{eqnarray}
三角関数や双曲線関数の変数が虚数でもいいのだと拡張すると，
\begin{eqnarray}
\cosh (i\theta) &=& \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \cos\theta\\
\sinh (i\theta) &=& \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2} = i \sin\theta\\
\cos(i x) &=& \frac{e^{i\cdot i x} + e^{-i\cdot i x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x\\
\sin(i x) &=&\frac{e^{i\cdot i x} – e^{-i\cdot i x}}{2 i} = i \frac{e^x – e^{-x}}{2} = i \sinh x
\end{eqnarray}
これらが，三角関数と双曲線関数のアイがある関係である。
三角関数と双曲線関数は，ただまぎらわしいほどに似た表記なだけでなく，密接な（アイのある）関係なのだということがわかると思う。
ありがとう! オイラーの公式!!