\( y^{”} + K y = 0\) あるいは移項して \(y^{”} = – K y\) を解く。
\(y^{”} = – K y \ (K > 0)\) を脊髄反射で解く
$y^{”} = -y$ の答えが脊髄反射で「2つの解は $\cos x$ と $\sin x$ だーっ」と叫べるのであれば，$K>0$ の場合の $y^{”} =- K y$ の答えも脊髄反射でわかるはず。
\begin{eqnarray}
y^{”} = \frac{d^2 y}{dx^2} &=& – K y \\
\frac{d^2 y}{K dx^2} &=& – y \\
&& (\tilde{x} \equiv \sqrt{K} x ) \\
\frac{d^2 y}{d\tilde{x}^2} &=& – y \\
\therefore\ \ y &=& C_1 \cos \tilde{x} + C_2 \sin \tilde{x} \\
&=& C_1 \cos \sqrt{K} x + C_2 \sin \sqrt{K} x
\end{eqnarray}
\(y^{”} = – K y \ (K < 0) \) を脊髄反射で解く
$y^{”} = y$ の答えが脊髄反射で「2つの解は双曲線関数の $\cosh x$ と $\sinh x$ だーっ」と叫べるのであれば，$K<0$ の場合の $y^{”} =- K y = |K| y$ の答えも脊髄反射でわかるはず。
\begin{eqnarray}
y^{”} = \frac{d^2 y}{dx^2} &=& |K| y \\
\frac{d^2 y}{|K| dx^2} &=& y \\
&& (\tilde{x} \equiv \sqrt{|K|} x ) \\
\frac{d^2 y}{d\tilde{x}^2} &=& y \\
\therefore\ \ y &=& C_1 \cosh \tilde{x} + C_2 \sinh \tilde{x} \\
&=& C_1 \cosh \sqrt{|K|} x + C_2 \sinh \sqrt{|K|} x
\end{eqnarray}
あるいは，$y^{”} = y$ の答えが脊髄反射で「2つの解は \(e^x\) と\(e^{-x}\) だーっ」と叫べるのであれば，以下のように書いてもよい。
\begin{eqnarray}
y &=& C_1 \exp\left( \sqrt{|K|} x \right) + C_2 \exp\left( -\sqrt{|K|} x \right)
\end{eqnarray}
\(y^{”} = 0 \ (K = 0)\) は…
2階微分がゼロであるからただちに2つの積分定数 $C_1, \, C_2$ を使って
$$y(x) = C_1 + C_2 x$$
統一的な表記法で…
$K>0$ の時の一般解の積分定数をあらためて $C_1 \rightarrow A$, $\displaystyle C_2 \rightarrow \frac{B}{\sqrt{K}}$ とおいてやると
$$y(x) = A \cos \sqrt{K} x + \frac{B}{\sqrt{K}} \sin \sqrt{K} x$$
$K < 0$ のときもそのまま，$K = – |K| $ を代入して
\begin{eqnarray}
y(x) &=& A \cos \sqrt{- |K| } x + \frac{B}{\sqrt{- |K| } } \sin \sqrt{- |K| } x \\
&=& A \cos(i \sqrt{|K|} x) + \frac{B}{i \sqrt{|K|} } \sin (i \sqrt{|K|} x) \\
&=& A \cosh(\sqrt{|K|} x) + \frac{B}{\sqrt{|K|} } \sinh (\sqrt{|K|} x)
\end{eqnarray}
だし，$K=0$ の場合は
\begin{eqnarray}
y &=& \lim_{K\rightarrow 0} \left(A \cos \sqrt{K} x + \frac{B}{\sqrt{K} } \sin \sqrt{K} x \right) \\
&=& A + B x
\end{eqnarray}
となり，$K > 0$ のときの解で $K < 0$ の場合も $K=0$ の場合も統一的にあらわすことができる。これが，人生に双曲線関数が必要である理由！
まとめ
\( y^{”} +K y = 0\) あるいは移項して \( y^{”} = -K y\) の解は，（積分定数を $A, B$ に置き戻して）
\begin{eqnarray}
K > 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A \cos(\sqrt{K} \ x) + B \sin(\sqrt{K} \ x)\\
K < 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A \cosh(\sqrt{-K} \ x) + B \sinh(\sqrt{-K} \ x)\\
K = 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A + B\ x
\end{eqnarray}
参考：一般的な教科書の説明例
一般的な教科書では，解を \( y = e^{\lambda x} \) （\(\lambda\) はギリシア文字のラムダの小文字で，ここでは定数をあらわす）の形に決めうちして（なぜそう仮定するのかって？ 続きを読めばわかるように，こう仮定すると解けるからですよ），微分方程式に代入し，定数 $\lambda$ について解くという立場をとるようだ。
\( K>0 \) の場合
解を \( y = e^{\lambda x} \) の形に仮定して微分方程式に入れると，
$$ \frac{d^2}{dx^2} e^{\lambda x} = \lambda^2 e^{\lambda x} = -K e^{\lambda x} $$
したがって，\( \lambda = \pm i\sqrt{K} \) となり，一般解は2つの一次独立な解の線形和で，
$$ y = C_1 e^{+i\sqrt{K} x} + C_2 e^{-i\sqrt{K} x} $$
…となるけど，でも，指数関数の方に虚数が乗るってどういうこと!? と首をかしげるあなたのために，「人類の至宝：オイラーの公式」というページを別に作りました。詳細はそちらをみていただくとして，このオイラーの公式を使うと，
\begin{eqnarray}
e^{+i \sqrt{K} x} &=& \cos(\sqrt{K} x) + i \sin(\sqrt{K} x) \\
e^{-i \sqrt{K} x} &=& \cos(\sqrt{K} x) – i \sin(\sqrt{K} x)
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
y &=& C_1 e^{+i \sqrt{K} x} + C_2 e^{-i\sqrt{K} x} \\
&=& C_1 \left( \cos(\sqrt{K} x) + i \sin(\sqrt{K} x)\right) + C_2\left( \cos(\sqrt{K} x) – i \sin(\sqrt{K} x)\right)\\
&=& \left( C_1 + C_2\right) \cos(\sqrt{K} x) + i \left( C_1 – C_2 \right)\sin(\sqrt{K} x)
\end{eqnarray}
ここであらためて \( C_1 + C_2 \Rightarrow C’_1, \ \ i \left( C_1 – C_2 \right) \Rightarrow C’_2\) と置き直すと
$$y = C’_1 \cos(\sqrt{K} x) + C’_2 \sin(\sqrt{K} x)$$ となり，これは，この手の2階微分方程式を脊髄反射で解いたときの答えと一致する。
\( K = 0 \) の場合
\( y^{”} = 0 \) となるので，簡単に解けて \( y = C_1 + C_2\, x\)。
\( K < 0 \) の場合
このときは，\( K = – |K|\) となるから微分方程式は
$$ y^{”} = |K| y$$
ここでも解を \( y = e^{\lambda x} \) の形に仮定して微分方程式にいれると，
$$ \frac{d^2}{dx^2} e^{\lambda x} =\lambda^2 e^{\lambda x} = |K| e^{\lambda x} $$
機械的に解くと \( \lambda = \pm \sqrt{|K|} \) となり，一般解は2つの一次独立な解の線形和で，
$$ y = C_1 e^{+ \sqrt{|K|} x} + C_2 e^{-\sqrt{|K|} x} $$
まとめ
\( y^{”} +K y = 0\) あるいは移項して \( y^{”} = -K y\) の解は，（積分定数をあらためて $A, \, B$ として）
\begin{eqnarray}
K > 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A \cos(\sqrt{K} \ x) + A \sin(\sqrt{K} \ x)\\
K < 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A e^{+\sqrt{-K} \ x} + B e^{-\sqrt{-K}\ x}\\
K = 0 &\ \ \Longrightarrow \ \ & y = A + B x
\end{eqnarray}