例題 1
非同次方程式 \( y^{\prime\prime} + y^{\prime} -2 y = 2 e^{-x} \) の特殊解を求める。
まず，同次方程式の一般解
同次方程式 \(y^{\prime\prime} + y^{\prime} -2 y=0\) を \(y^{\prime\prime}+2 b y^{\prime} + c y =0 \) の形にあてはめて
$$ b = \frac{1}{2}, \ c = -2, \ c -b^2 = -2 -\frac{1}{4} = -\frac{9}{4} < 0$$
であるから，このあたりを参照して
\begin{eqnarray}
y &=& e^{-b x} \left\{A \cosh\sqrt{b^2-c}\,x + B \sinh\sqrt{b^2-c}\,x \right\} \\
&=& e^{-\frac{1}{2} x} \left\{A \cosh\frac{3}{2} x + B \sinh\frac{3}{2}x \right\}
\end{eqnarray}
としてもよいが，さらに
\begin{eqnarray}
y &=& e^{-\frac{1}{2} x} \left\{A \cosh\frac{3}{2} x + B \sinh\frac{3}{2}x \right\} \\
&=&e^{-\frac{1}{2} x} \left\{A \frac{e^{\frac{3}{2}x} + e^{-\frac{3}{2}x}}{2} + B \frac{e^{\frac{3}{2}x} -e^{-\frac{3}{2}x}}{2} \right\} \\
&=& \frac{A}{2} \left(e^x + e^{-2 x} \right)+ \frac{B}{2} \left(e^x -e^{-2 x} \right)\\
&=& \frac{A-B}{2} e^{-2x} + \frac{A+B}{2} e^x \\
&=& C_1 e^{-2x} + C_2 e^x
\end{eqnarray}
つまり，同次方程式の基本解を
\begin{eqnarray}
y_1 &=& e^{-2 x} \\
y_2 &=& e^{ x}
\end{eqnarray}
とするほうが簡単に計算が進む。
この基本解を求める別の方法として，\( y = e^{\lambda x} \) とおくと，\(\lambda\) は以下を満たす。
$$ \lambda^2 + \lambda -2 = 0 $$ 因数分解できて，
$$ (\lambda + 2)(\lambda -1) = 0, \quad \therefore \lambda = -2, 1 $$
したがって，同次方程式の基本解は
\begin{eqnarray}
y_1 &=& e^{-2 x} \\
y_2 &=& e^{ x}
\end{eqnarray}
としてもよいだろう。
ロンスキアン
同次方程式の基本解を使うと，ロンスキアン \(W(x) \) は
\begin{eqnarray}
W(x) &=& y_1(x) \, y’_2(x) -y’_1(x)\, y_2(x) \\
&=& e^{-2 x} e^{ x}-(-2 e^{-2 x}) e^{ x}\\
&=& 3 e^{-x}
\end{eqnarray}
あとは公式に入れて…
従って，非同次方程式の特殊解は
\begin{eqnarray}
y_s &=& y_2(x)\int^x \frac{R(t) y_1(t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt\\
&=& e^x \int^x \frac{2 e^{-t} \,e^{-2 t}}{3 e^{-t} }dt-
e^{-2 x} \int^x \frac{2 e^{-t} \,e^{ t}}{3 e^{-t}}dt \\
&=& \frac{2}{3} e^x \int^x e^{-2 t} \,dt -\frac{2}{3} e^{-2x} \int^x e^t \,dt \\
&=& -e^{-x}
\end{eqnarray}
最後に，非同次方程式の一般解は…
同次方程式の基本解の線形和である一般解と，非同次方程式の特殊解の和だから
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_s = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x -e^{-x} $$
例題 2
非同次方程式 \( y^{\prime\prime} + a^2 y = \sin a x\) の特殊解を求める。
まず，同次方程式の一般解
同次方程式 \( y^{\prime\prime} + a^2 y = 0 \) の1次独立な解は脊髄反射で，
$$ y_1 = \cos a x, \quad y_2 = \sin a x $$
ロンスキアン
$$ W = y_1 y’_2 -y’_1 y_2 = \cos a x \cdot a \cos ax -(-a) \sin a x \cdot \sin a x = a $$
あとは公式に入れて…
非同次項は \( R(x) = \sin a x \) だから
\begin{eqnarray} y_s(x) &=& y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&=& \sin a x \int^x \frac{\sin a t\ \cos a t}{a} dt -\cos a x \int^x \frac{\sin a t \ \sin a t}{a} dt \\
&=& \frac{1}{2a} \sin a x \int^x \sin 2 a t \, dt -\frac{1}{2a} \cos a x \int^x (1 -\cos 2 a t) \, dt \\
&=& -\frac{1}{4a^2} \sin a x \ \cos 2 a x -\frac{1}{2 a} \cos a x \left( x -\frac{1}{2a} \sin 2 a x\right) \\
&=& -\frac{x}{2 a} \cos a x + \frac{1}{4 a^2}\left( \sin 2 a x \ \cos a x -\cos 2 a x \ \sin a x \right) \\
&=& -\frac{x}{2 a} \cos a x + \frac{1}{4 a^2} \sin a x \end{eqnarray}
最後の \( \sin a x \) に比例する項は，同次方程式の基本解 \( y_2 = \sin a x \) に比例する項そのものであるから，同次方程式の一般解に組み込まれる項である。したがって非同次方程式の特殊解としては
$$ y_s = -\frac{x}{2 a} \cos a x $$
$y_s$ に同次方程式の基本解に比例する項がまぎれこむ不定性は，不定積分の不定性に起因する。ためしに，
\begin{eqnarray}
\int^x \frac{\sin a t\ \cos a t}{a} dt &=&\frac{1}{2a} \int^x \sin 2 a t \, dt \\
&=& -\frac{1}{4 a^2} \cos 2 a t
\end{eqnarray}
のかわりに
\begin{eqnarray}
{\color{blue}{\int^x \frac{\sin a t\ \cos a t}{a} dt}}&=& -\frac{1}{a^2} \int^{\cos a x} \cos a t \ d(\cos a t) \\
&=& {\color{blue}{-\frac{1}{2 a^2} \cos^2 a x}}
\end{eqnarray}
を使うと，
\begin{eqnarray} y_s(x) &=& y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&=& \sin a x {\color{blue}{\int^x \frac{\sin a t\ \cos a t}{a} dt}} -\cos a x \int^x \frac{\sin a t \ \sin a t}{a} dt \\
&=& {\color{blue}{-\frac{1}{a^2}}} \sin a x {\color{blue}{\int^{\cos a x} \cos a t \ d(\cos a t)}} -\frac{1}{2a} \cos a x \int^x (1 -\cos 2 a t) \, dt \\
&=&{\color{blue}{ -\frac{1}{2 a^2} }}\sin a x \ {\color{blue}{\cos^2 a x}} -\frac{1}{2 a} \cos a x \left( x -\frac{1}{2a} \sin 2 a x\right) \\
&=& -\frac{x}{2 a} \cos a x + \frac{1}{4 a^2}\left( \sin 2 a x \ \cos a x -{\color{blue}{2\cos^2 a x}} \ \sin a x \right) \\
&=& -\frac{x}{2 a} \cos a x + \frac{1}{4 a^2}\left( 2 \sin a x \cos a x\ \cos a x -{\color{blue}{2\cos^2 a x}} \ \sin a x \right) \\&=& -\frac{x}{2 a} \cos a x \end{eqnarray}
となり，めでたく非同次方程式の特殊解のみがでてくる。
最後に，非同次方程式の一般解は…
同次方程式の基本解の線形和である一般解と，非同次方程式の特殊解の和だから
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_s = C_1 \cos a x + C_2 \sin a x -\frac{x}{2 a} \cos a x $$