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定数係数2階線形非同次方程式

定数係数2階線形非同次方程式とは以下のように右辺に非同次項 \( R(x) \) がある微分方程式のこと。
$$ y^{”} + 2 b y’ + c y = R(x) $$
特殊解 \( y_s(x) \) を,同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = 0 $$ の1次独立な基本解 \( y_1(x), \ y_2(x) \) およびそれらからつくられるロンスキアン $$ W(x) \equiv y_1(x) y’_2(x) -y’_1(x) y_2(x) $$ を使って求める公式は,

$$ y_s(x) = y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt$$


基本解,特殊解,一般解

この一般解
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_s $$
のように書くことができる。
ここで,\( y = C_1  y_1 + C_2 y_2 \) の部分は,同次方程式 \( y^{”} + 2 b y’ + c y = 0 \) の基本解 \(y_1, \ y_2 \) の線形和で与えられる同次方程式の一般解であり,\( y_s \) は非同次方程式 \( y^{”} + 2 b y’ + c y = R(x)\) の特殊解
繰り返すが,\(y_1, \ y_2 \) は同次方程式 \( y^{”} + 2 b y’ + c y = 0 \) の基本解,つまり
$$y^{”}_1 + 2 b y’_1 + c y_1 = 0, \quad y^{”}_2 + 2 b y’_2 + c y_2 = 0$$
一方,\( y_s \) は非同次方程式 \( y^{”} + 2 b y’ + c y = R(x)\) の特殊解,つまり
$$ y^{”}_s + 2 b y’_s + c y_s = R(x)$$
結局,非同次方程式を解くということは,この特殊解 \( y_s \) をどのようにして求めるか,ということに尽きる。
ここでは,ロンスキアンを使って特殊解を求める公式を紹介しておく。

非同次方程式の特殊解を求める公式(ロンスキアンを使って)

定数係数2階線形非同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = R(x) $$ の特殊解 \( y_s(x) \) を,同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = 0 $$ の1次独立な基本解 \( y_1(x), \ y_2(x) \) およびそれらからつくられるロンスキアン $$ W(x) \equiv y_1(x) y’_2(x) -y’_1(x) y_2(x) $$ を使って求める公式がある。

$$ y_s(x) = y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt$$

ここでは,この公式の導出は省略して,この式が確かに非同次方程式の特殊解になっていることを直接代入して確かめてみます。

まず,前提として,\( y_1(x), \ y_2(x) \) は同次方程式の解なので
$$ y^{”}_1 + 2 b y’_1 + c y_1 = 0, \quad y^{”}_2 + 2 b y’_2 + c y_2 = 0$$

\(y_s(x) \) の1階微分は,

\begin{eqnarray}
y’_s(x) &=& y’_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y’_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&& + y_2(x) \ \frac{R(x) y_1 (x)}{W(x)} -y_1(x) \ \frac{R(x) y_2(x)}{W(x)} \\
&=& y’_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y’_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt
\end{eqnarray}

\(y_s(x) \) の2階微分は,

\begin{eqnarray} y^{”}_s(x) &=& y^{”}_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y^{”}_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&& + y’_2(x) \ \frac{R(x) y_1 (x)}{W(x)} -y’_1(x) \ \frac{R(x) y_2(x)}{W(x)} \\
&=& y^{”}_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y^{”}_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt + R(x)
\end{eqnarray}

まとめて非同次方程式の左辺に代入すると,

\begin{eqnarray} y^{”}_s + 2 b y’_s + c y_s &= &
\left(y^{”}_2 + 2 b y’_2 + c y_2 \right) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt \\
&& -\left(y^{”}_1 + 2 b y’_1 + c y_1 \right) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt  + R(x) \\ &=& R(x)
\end{eqnarray}

となって,確かに特殊解になっている!