定数係数2階線形非同次方程式とは以下のように右辺に非同次項 \( R(x) \) がある微分方程式のこと。
$$ y^{”} + 2 b y’ + c y = R(x) $$
特殊解 \( y_s(x) \) を，同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = 0 $$ の1次独立な基本解 \( y_1(x), \ y_2(x) \) およびそれらからつくられるロンスキアン $$ W(x) \equiv y_1(x) y’_2(x) -y’_1(x) y_2(x) $$ を使って求める公式は，
$$ y_s(x) = y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt$$
基本解，特殊解，一般解
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_s $$
のように書くことができる。
非同次方程式の特殊解を求める公式（ロンスキアンを使って）
定数係数2階線形非同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = R(x) $$ の特殊解 \( y_s(x) \) を，同次方程式 $$ y^{”}(x) + 2 b y'(x) + c y(x) = 0 $$ の1次独立な基本解 \( y_1(x), \ y_2(x) \) およびそれらからつくられるロンスキアン $$ W(x) \equiv y_1(x) y’_2(x) -y’_1(x) y_2(x) $$ を使って求める公式がある。
$$ y_s(x) = y_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt$$
ここでは，この公式の導出は省略して，この式が確かに非同次方程式の特殊解になっていることを直接代入して確かめてみます。
まず，前提として，\( y_1(x), \ y_2(x) \) は同次方程式の解なので
$$ y^{”}_1 + 2 b y’_1 + c y_1 = 0, \quad y^{”}_2 + 2 b y’_2 + c y_2 = 0$$
\(y_s(x) \) の1階微分は，
\begin{eqnarray}
y’_s(x) &=& y’_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y’_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&& + y_2(x) \ \frac{R(x) y_1 (x)}{W(x)} -y_1(x) \ \frac{R(x) y_2(x)}{W(x)} \\
&=& y’_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y’_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt
\end{eqnarray}
\(y_s(x) \) の2階微分は，
\begin{eqnarray} y^{”}_s(x) &=& y^{”}_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y^{”}_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt \\
&& + y’_2(x) \ \frac{R(x) y_1 (x)}{W(x)} -y’_1(x) \ \frac{R(x) y_2(x)}{W(x)} \\
&=& y^{”}_2(x) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt -y^{”}_1(x) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt + R(x)
\end{eqnarray}
まとめて非同次方程式の左辺に代入すると，
\begin{eqnarray} y^{”}_s + 2 b y’_s + c y_s &= &
\left(y^{”}_2 + 2 b y’_2 + c y_2 \right) \int^x \frac{R(t) y_1 (t)}{W(t)} dt \\
&& -\left(y^{”}_1 + 2 b y’_1 + c y_1 \right) \int^x \frac{R(t) y_2(t)}{W(t)} dt + R(x) \\ &=& R(x)
\end{eqnarray}
となって，確かに特殊解になっている！