定数係数2階線形非同次方程式

定数係数2階線形非同次方程式 $$y^{”}(x)+2b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=R(x)$$ の特殊解 $y_s(x)$ を，同次方程式 $$y^{”}(x)+2b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0$$ の1次独立な基本解 $y_1(x),y_2(x)$ およびそれらからつくられるロンスキアン $$W(x)\equiv y_1(x)y_2^{\prime }(x)-y_1^{\prime }(x)y_2(x)$$ を使って求める公式がある。

$$y_s(x)=y_2(x){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt-y_1(x){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt$$

ここでは，この公式の導出は省略して，この式が確かに非同次方程式の特殊解になっていることを直接代入して確かめてみます。

まず，前提として，$y_1(x),y_2(x)$ は同次方程式の解なので
$$y_1^{”}+2b{y}_1^{\prime }+c{y}_1=0,y_2^{”}+2b{y}_2^{\prime }+c{y}_2=0$$

$y_s(x)$ の1階微分は，

$$\begin{array}{rcl}{y}_s^{\prime }(x)& =& y_2^{\prime }(x){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt-y_1^{\prime }(x){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt\\ & & +y_2(x)\frac{R(x)y_1(x)}{W(x)}-y_1(x)\frac{R(x)y_2(x)}{W(x)}\\ & =& y_2^{\prime }(x){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt-y_1^{\prime }(x){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt\end{array}$$

$y_s(x)$ の2階微分は，

$$\begin{array}{rcl}{y}_s^{”}(x)& =& y_2^{”}(x){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt-y_1^{”}(x){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt\\ & & +y_2^{\prime }(x)\frac{R(x)y_1(x)}{W(x)}-y_1^{\prime }(x)\frac{R(x)y_2(x)}{W(x)}\\ & =& y_2^{”}(x){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt-y_1^{”}(x){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt+R(x)\end{array}$$

まとめて非同次方程式の左辺に代入すると，

$$\begin{array}{rcl}{y}_s^{”}+2b{y}_s^{\prime }+c{y}_s& =& (y_2^{”}+2b{y}_2^{\prime }+c{y}_2){\int }^x\frac{R(t)y_1(t)}{W(t)}dt\\ & & -(y_1^{”}+2b{y}_1^{\prime }+c{y}_1){\int }^x\frac{R(t)y_2(t)}{W(t)}dt+R(x)\\ & =& R(x)\end{array}$$

となって，確かに特殊解になっている！