定数係数2階線形「同次」方程式
$$y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = 0$$
定数係数2階線形「非同次」方程式
$$ y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = R(x)$$
一般の2階線形微分方程式
一般に，2階線形常微分方程式とは以下のような形：
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + P(x)\, \frac{dy}{dx} + Q(x)\, y = R(x) $$
また，\( \frac{d}{dx} \) を \({}^{\prime}\) で表して
$$ y^{”} + P(x)\, y’ + Q(x)\, y = R(x) $$
未知関数 \(y\) について最高2階微分 \(y^{”}\) までを含むから，2階。未知関数およびその微分，つまり，\( y, \ y’, \ y^{”}\) については線形（ \(y^2\) とか \( y\, y’\) とかは含まない）なので，2階線形常微分方程式。
定数係数2階線形微分方程式
特に，\(P(x),\ Q(x)\) が \(x\) の関数ではなく定数 \(p,\ q\) なら，「定数係数」であるから，定数係数2階線形微分方程式。
同次方程式
また，右辺の\( y\) を含まない\(x\)だけの関数 \(R(x)\) がゼロのとき，
$$ y^{”} + p\, y’ + q\, y = 0$$
は，定数係数2階線形（常）微分方程式のうちでも同次方程式，つまり定数係数2階線形「同次」方程式と呼ばれる。以降，計算のちょっとした簡略化のために，定数係数を $p \rightarrow 2b, \ q \rightarrow c$ と書き換えて微分方程式を以下のように書くことにする。
$$y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = 0$$
非同次方程式
というわけで，右辺の\( y\) を含まない\(x\)だけの関数 \(R(x)\) が一般にゼロでないとき，
$$ y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = R(x)$$
となり，これを定数係数2階線形「非同次」方程式という。