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定数係数2階線形微分方程式とは

定数係数2階線形「同次」方程式

$$y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = 0$$

定数係数2階線形「非同次」方程式

$$ y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = R(x)$$

一般の2階線形微分方程式

一般に,2階線形常微分方程式とは以下のような形:

$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + P(x)\, \frac{dy}{dx} + Q(x)\, y = R(x) $$

また,\( \frac{d}{dx} \) を \({}^{\prime}\) で表して

$$ y^{”} + P(x)\, y’ + Q(x)\, y = R(x) $$

未知関数 \(y\) について最高2階微分 \(y^{”}\) までを含むから,2階。未知関数およびその微分,つまり,\( y, \ y’, \ y^{”}\) については線形( \(y^2\) とか \( y\, y’\) とかは含まない)なので,2階線形常微分方程式

定数係数2階線形微分方程式

特に,\(P(x),\ Q(x)\) が \(x\) の関数ではなく定数 \(p,\ q\) なら,「定数係数」であるから,定数係数2階線形微分方程式

 

同次方程式

また,右辺の\( y\) を含まない\(x\)だけの関数 \(R(x)\) がゼロのとき,

$$ y^{”} + p\, y’ + q\, y = 0$$

は,定数係数2階線形(常)微分方程式のうちでも同次方程式,つまり定数係数2階線形「同次」方程式と呼ばれる。以降,計算のちょっとした簡略化のために,定数係数を $p \rightarrow 2b, \ q \rightarrow c$ と書き換えて微分方程式を以下のように書くことにする。

$$y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = 0$$

非同次方程式

というわけで,右辺の\( y\) を含まない\(x\)だけの関数 \(R(x)\) が一般にゼロでないとき,

$$ y^{”} + 2 b\, y’ + c\, y = R(x)$$

となり,これを定数係数2階線形「非同次」方程式という。