変数分離形の微分方程式とは，以下のような形の微分方程式。
\[ \frac{dy}{dx} = X(x) \, Y(y) \]
この形の微分方程式は，変数分離法と呼ばれる方法によって解くことができる。
簡単に言うと，\(y\)を含むものは全て左辺に，\(x\) を含むもの（\(y\) を含まないもの）は全て右辺にもっていきます。
まず，
\[ \frac{1}{Y(y)} \frac{dy}{dx} = X(x) \]
次に「両辺に \(dx\) と\(\int\) をかけます」。(高校では\(\frac{dy}{dx}\) は「分数ではない」と習ったと思いますが，大学では「分数だと思ってよい」です。）
\[
\int \frac{dy}{Y(y)} = \int X(x) \, dx
\]
変数分離法で例題を解く
例題を変数分離法で解いてみます。自然対数を $\ln $ と書いている場合もあります。$\ln y = \log_e y = \log y$ です。
\[ \frac{dy}{dx} = – 2 x\, y \]
\[ \frac{dy}{y} = -2 x \, dx \]
\[\int \frac{dy}{y} = – 2 \int x \, dx \]
\[ \ln y = – x^2 + C \]
\[ \therefore \ y = e^{-x^2 + C} = e^C\, e^{- x^2}\]
\( e^C\) を新たに \(C\) とおきなおすと（任意の積分定数であるので。混乱しそうな人は \(e^C \equiv C’ \) とでも書きましょう。），答えは
\[ y = C\, e^{-x^2} \]