ヴェアフルストによる修正人口モデル

微分方程式が出てくる現実世界の一場面：ヴェアフルストによる修正モデル

マルサス・モデルは，$\gamma >0$ の場合には人口の際限ない増加を予測する。しかし，実際には食糧資源の供給不足，人口の過密，その他の環境的要因により，このような無制限な増加は続かない。

• 【参考】 「微分方程式で数学モデルを作ろう バージェス，ボリー著，日本評論社」

ヴェアフルストは，人口過密の要因を考慮にいれて，次のような修正を提案した。
人口は継続し続ける限り増加するが，上限 (それを定数 $N_{max}$ としよう) があるとする。そして，人口変化は，次の各々に比例すると仮定する:

1. 現在の人口 $N$
2. 未使用の人口資源に対する割合 $(1–N/N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})$

したがって微分方程式は

$$\frac{dN}{dt}=\gamma N\left(1–\frac{N}{N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)$$

両辺を $N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ で割り，${\displaystyle y\equiv N/N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}$ で表すと

$$\frac{dy}{dt}=\gamma y(1–y)$$

これは以下のように変数分離法によって解ける。

$$\begin{array}{rcl}\frac{dy}{y(1-y)}& =& \gamma dt\\ \int \frac{dy}{y(1-y)}& =& \gamma \int dt\\ \int \left\{\frac{1}{y}–\frac{1}{y-1}\right\}dy& =& \gamma \int dt\\ \ln \left|\frac{y}{y-1}\right|& =& \gamma t+C\\ \therefore \frac{y}{y-1}& =& e^{\gamma t+C}\\ & \equiv & C^{\prime }{e}^{\gamma t}\end{array}$$

$t=t_0$ における人口の値を $N(t_0)\equiv N_0$ とすると，

$$\begin{array}{rcl}\frac{\frac{N_0}{N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}{\frac{N_0}{N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}-1}& \equiv & C^{\prime }{e}^{\gamma t_0}\\ \therefore C^{\prime }& =& \frac{N_0}{N_0–N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{e}^{-\gamma t_0}\\ \\ \therefore y=\frac{N}{N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}& =& \frac{C^{\prime }{e}^{\gamma t}}{C^{\prime }{e}^{\gamma t}-1}\\ & =& \frac{\frac{N_0}{N_0–N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{e}^{\gamma (t-t_0)}}{\frac{N_0}{N_0–N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{e}^{\gamma (t-t_0)}-1}\\ \therefore N(t)& =& N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{N_0}{N_0+(N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-N_0)e^{-\gamma (t-t_0)}}\end{array}$$

下図をみると，（$N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$  と $\gamma$ をうまくあわせることによって）ヴェアフルストモデルのほうが，この年代の米国の人口をよくあらわしていることがわかる。