微分方程式が出てくる現実世界の一場面：マルサスの人口モデル
人口変化のしかたを明らかにし，将来の変化を予測するモデルを定式化するこ とは実社会において非常に重要な問題である。ここでは，まずマルサスの 「人口論」に書かれたアイデアを紹介する。
時刻 \(t\) （たとえば「年」としてもよい）におけるある国の総人口を \(N(t)\) とする。短い時間間隔 \(dt\) における出生数と死亡数は，ともにその時点での総人口と時間間隔に比例するから，
$$\mbox{出生数} = \alpha N dt, \quad
\mbox{死亡数} = \beta N dt
$$
したがって，時間間隔 \(dt\) での人口の増加 \(dN\) は
$$dN = \alpha N dt – \beta N dt = \gamma N dt, \quad\mbox{ただし}\
\gamma \equiv \alpha – \beta
$$
これは微分方程式
$$\frac{dN}{dt} = \gamma N
$$
であり，変数分離法を使って以下のように解くことができる。
まず，
$$ \frac{dN}{N} = \gamma \,dt $$
$$ \int \frac{dN}{N} = \gamma \int dt $$
題意より \( N > 0 \) だから，
$$ \ln N = \gamma t + C $$
$$ \therefore N(t) = e^C\, e^{\gamma t } \equiv C’\,e^{\gamma t }$$
ここで，積分定数 \(C\) （あるいは \(C’\) を，初期条件を使ってあらわす。ここでの初期条件として，\( t = t_0 \) （年）のときの人口を \(N_0\) とする。すなわち，
\[ N(t_0) = N_0 = C’\, e^{\gamma\,t_0} \]
これから，\( C’ = N_0\, e^{-\gamma \,t_0} \) となり，最終的に。
$$ N(t) = N_0 e^{\gamma (t – t_0)} $$
マルサス・モデルは，\(\gamma > 0\) の場合には人口の際限ない増加（指数関数的増加）を予測する。しかし，実際にはいろいろな要因により，このような無制限な増加は続かない。以下のグラフを参照。
