例題 1
$\displaystyle \iint_D x\, dx\, dy, \quad D: 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 2$
解答例
\begin{eqnarray}
\iint_D x\, dx\, dy &=& \int_0^2 dy\, \int_0^1 dx\, x \\
&=& \int_0^2 dy\, \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
&=& \int_0^2 dy\, \frac{1}{2} \\
&=& \biggl[\frac{y}{2} \biggl]_0^2\\
&=& 1
\end{eqnarray}
例題 2
$\displaystyle \iint_D (x + y) \, dx\, dy, \quad D: 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 2$
解答例
\begin{eqnarray}
\iint_D (x + y) \, dx\, dy &=& \iint_D x\, dx\, dy + \iint_D y\, dx\, dy \\
&=& \int_0^2 dy \int_0^1 dx\, x + \int_0^1 dx \int_0^2 dy\, y \\
&=& \biggl[\, y \,\biggr]_0^2 \times \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \biggl[\, x \,\biggr]_0^1 \times \left[ \frac{y^2}{2}\right]_0^2 \\
&=& 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times 2 \\
&=& 3
\end{eqnarray}
別解 1
ここでは後で説明するように累次積分の方法で積分している。2重積分を累次積分の方法で計算する際，先に $\displaystyle \int_0^1 dx\, (x + y)$ の積分をする際には，$x$ のみについての積分であるから，$y$ は固定して，あたかも定数のように扱って $x$ について積分する。これが2重積分を累次積分の方法で計算するときのやりかた。累次積分の説明を聞いたあとに，あらためてじっくり計算してみよう。
\begin{eqnarray}
\iint_D (x + y) \, dx\, dy
&=& \int_0^2 dy \int_0^1 dx\, (x + y) \\
&=& \int_0^2 dy \, \left[ \frac{x^2}{2} + y x\right]_0^1 \\
&=& \int_0^2 dy \, \left(\frac{1}{2} + y\right) \\
&=& \left[\frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 \\
&=& 1 + 2 \\
&=& 3
\end{eqnarray}
別解 2
\begin{eqnarray}
\iint_D (x + y) \, dx\, dy &=& \int_0^1 dx \int_0^2 dy \, (x + y) \\
&=& \cdots
\end{eqnarray}
これはダメ
例題 1 は独立した積分の掛け算となったので，この問題も
\begin{eqnarray}
\iint_D (x + y) \, dx\, dy
&=& \int_0^2 dy \int_0^1 dx\, (x + y) \\
&=& \left\{\int_0^2 dy \right\} \times \int_0^1 dx\, (x + y) \\
&=& 2 \times\int_0^1 dx\, (x + y)
\end{eqnarray}
のように $y$ 積分を先に計算して掛け算としていいですかぁ？という質問があったので，それはダメ。
よかれと思ってちょっとマニアックな表記法を使うとこんな勘違いをするので，ちゃんと書くと
\begin{eqnarray}
\iint_D (x + y) \, dx\, dy
&=& \int_0^2 \left\{ \int_0^1 (x + y) \,dx\,\right\}\, dy
\end{eqnarray}
このように書くと，$\int$ と $dy$ の間に被積分関数があるから，$\displaystyle \int_0^2 dy = 2$ を先に計算するなどということは思い浮かばないでしょ。