不定積分 $\displaystyle \int e^{-x^2 } dx$ は積分できないのに，なぜか
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 } dx = \sqrt{\pi}$$ となること。
ガウス積分の準備としての2重積分
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 – y^2} dx\,dy$$
極座標に変換して計算する。
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 – y^2} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr$$
変数変換 $$ r^2 = t, \quad r dr = \frac{1}{2} dt $$
$$\therefore I = 2\pi \times \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-t} dt = \pi \Bigl[ -e^{-t} \Bigr]_0^{\infty} = \pi$$
ガウス積分
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 } dx$$
この積分は，積分変数 \( x \) を \( y \) にして
$$ I_y = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2 } dy$$ としても，積分範囲が同じなら全く同じ答えを与えるはすですよね。つまり \( I = I_y \) ですから，以下の計算で，\(I^2 = I \times I_y \) としてよい。
\(\displaystyle \int e^{-x^2 } dx\)は不定積分できない！ので，定積分だってできないはず… なんだけど
\begin{eqnarray}
I^2 &=& I \times I_y \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 } dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2 } dy \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \,e^{-x^2 -y^2}\\
&=& \pi
\end{eqnarray} （何で \(\pi\) になるのかは，上節「ガウス積分の準備としての2重積分」を参照。）
$$\therefore \ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 } dx = \sqrt{\pi} $$
不定積分はできないのに，（無限区間での）定積分は計算できる！という，なんとも不思議な積分。この形の積分を「ガウス積分」と呼んでいる。
被積分関数 \(e^{-x^2}\) は偶関数なので，
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2 } dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 } dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
ガウス積分に関連した積分
$$ \int_{0}^{\infty} x^m e^{-x^2 } dx$$
\(m = 0\) の場合
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2 } dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
\(m = 1\) の場合
変数変換 \( x^2 = t, \ x dx = \frac{1}{2} dt \) を使って
$$\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2 } dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = \frac{1}{2} \Bigl[ – e^{-t} \Bigr]_0^{\infty} = \frac{1}{2}$$
\(m\) が偶数の場合の積分を求める準備
まず，ガウス積分をちょっと一般化して
$$ I_e = \int_0^{\infty} e^{-a x^2} dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^{\infty} e^{-(\sqrt{a} x)^2} \sqrt{a} dx = a^{-\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
\( m = 2 \) の場合
\begin{eqnarray}
-\frac{d}{da} I_e &=& -\int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} e^{-a x^2} dx = \int_0^{\infty} x^2 e^{-a x^2} dx \\
&=& -\frac{d}{da}a^{-\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} a^{-\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{eqnarray}
\(a = 1\) とおくと
$$ \int_0^{\infty} x^2 e^{- x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$$
\( m = 4 \) の場合
\begin{eqnarray}
(-1)^2 \frac{d^2}{da^2} I_e &=& \int_0^{\infty} \frac{\partial^2}{\partial a^2} e^{-a x^2} dx = \int_0^{\infty} x^4 e^{-a x^2} dx \\
&=& \frac{d^2}{da^2}a^{-\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{3}{4} a^{-\frac{5}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{eqnarray}
\(a = 1\) とおくと
$$ \int_0^{\infty} x^4 e^{- x^2} dx = \frac{3\sqrt{\pi}}{8}$$
一般に \( m = 2 n\) （\(n\) は正の整数）の場合
\begin{eqnarray}
\int_0^{\infty} x^{2n} e^{-a x^2} dx &=& (-1)^n \frac{d^n}{da^n} I_e \\
&=& (-1)^n \frac{d^n}{da^n}a^{-\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
&=& \frac{(2n-1)!!}{2^n} a^{-\frac{2n+1}{2}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{eqnarray}
\(a = 1\) とおくと
$$ \int_0^{\infty} x^{2n} e^{- x^2} dx = \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}$$
ここで，$$ (2n-1)!! = (2n-1)\cdot (2n-3)\cdots 3\cdot 1 $$ 例えば，$$ 5!! = 5\cdot 3 \cdot 1 = 15$$
\(m\) が奇数の場合の積分を求める準備
\begin{eqnarray}I_o &=& \int_0^{\infty} x e^{-a x^2} dx \\
&=& \frac{1}{a} \int_0^{\infty} (\sqrt{a} x) e^{-(\sqrt{a} x)^2} \sqrt{a} dx \\
&=& \frac{1}{a}\int_0^{\infty} t e^{-t^2} dt = a^{-1} \frac{1}{2}\end{eqnarray}
一般に \( m = 2 n+1\) （\(n\) は正の整数）の場合
\begin{eqnarray}
\int_0^{\infty} x^{2n+1} e^{-a x^2} dx &=& (-1)^n \frac{d^n}{da^n} I_o \\
&=& (-1)^n \frac{d^n}{da^n}a^{-1} \frac{1}{2} \\
&=& \dots
\end{eqnarray}