例題 1
\(f(x, y) = x^2 + y^2 -1 = 0\) を満たす陰関数 \(y=y(x)\) の最大値・最小値を求める。
解答例
陰関数定理より
$$ \frac{dy}{dx} = – \frac{ \ \ \frac{\partial f}{\partial x} \ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}} = – \frac{2 x}{2 y} = – \frac{x}{y}$$
\(y(x)\) が極値をとるのは \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0\) より \(x = 0\)。これを \(f(x, y)\) に代入して
$$f(0, y) = y^2 -1 = 0, \quad \therefore\ \ y = \pm 1$$
したがって極値になりそうな点は \((x, y) = (0, 1), \ (0, -1)\)。
最大値・最小値になるかどうかを調べるには2階微分 \(\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\) を計算する必要がある。
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 y}{dx^2} &=& \frac{d}{dx}\left( -\frac{x}{y}\right) \\
&=& -\frac{1}{y^2} \left(1\cdot y -x \frac{dy}{dx} \right) \\
&=& -\frac{1}{y^2} \left(y +\frac{x^2}{y} \right)\\
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
-1 < 0 & \mbox{for}\ (x, y) = (0, 1)\\
\ \ 1 > 0 & \mbox{for}\ (x, y) = (0, -1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
したがって，\((x,y) = (0, 1) \) は最大値 \(y = 1\) となる点であり，\( (x,y) = (0, -1)\) は最小値 \(y=-1\) となる点。
別解
\(f(x, y) = x^2 + y^2 -1 = 0 \) は陽関数として表すことも可能で，
$$x^2 + y^2 -1 = 0 \ \ \Rightarrow\ \ y = \pm \sqrt{1-x^2}$$
\(y = +\sqrt{1-x^2}\) のときは $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-2 x) = -\frac{x}{y}$$
\(y = -\sqrt{1-x^2}\) のときは $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-2 x) = -\frac{x}{y}$$
となり，どちらの場合も $$\frac{dy}{dx} = – \frac{x}{y}$$
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) が求まれば，あとは同様に…
この例題の幾何学的考察
この例題が陰関数定理の例題であるという側面を離れて，幾何学的に考察してみると，$f(x, y) = x^2 + y^2 -1 = 0$ という拘束条件は，点 $(x, y)$ が $x^2 + y^2 = 1$ つまり原点を中心とした半径 $1$ の円上にあるということ。
この拘束条件のもとで $y$ の最大値・最小値を求めるということは，この円上で $y$ の最大値と最小値を求めるということであるから，図から明らかに $y$ の最大値は $1$，最小値は $-1$ ということになる。
例題 2
\(f(x, y) = x^2 + y^2 -1 = 0\) を満たす陰関数を \(y=y(x)\) とするとき，関数 \(g(x) = x + y(x)\) の最大値・最小値を求めよ。
解答方針
すでに $\displaystyle \frac{dy}{dx} = – \frac{x}{y}$ までは求めているので，あとは $g(x)$ の極値を探すために $\displaystyle \frac{dg}{dx}$ を求めてみればよい。
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} g(x) &=& \frac{d}{dx} (x + y) \\
&=& 1 + \frac{dy}{dx} \\
&=& 1 -\frac{x}{y} = \frac{y -x}{y}
\end{eqnarray}
極値となりそうな点は $\displaystyle \frac{dg}{dx} = 0$ より $y = x$ を満たすことになる。あとは…
この例題の幾何学的考察
関数 \(g(x) = x + y(x)\) の値を $d$ とおけば，
$$x + y = d, \quad \therefore\ \ y = -x + d$$
つまり，この練習問題を幾何学的に考察すると，円 $x^2 + y^2 = 1$ と共通点をもつ（つまり，交わるあるいは接する）直線 $y = -x + d$ のうち，切片 $d$ の値が最大・最小になるのは？という問題であることがわかる。これなら，陰関数定理やラグランジュの未定乗数法（まだ教えてないけど）なんか使わなくても，図を書いて求められるよね。
ちなみに，ラグランジュの未定乗数法を使った解答例は，真貝さんの「徹底攻略微分積分」の p.181 に書いてあります。