2変数関数の偏微分の応用として，陰関数定理を紹介する。
\(f(x, y) =0\) を満たす陰関数 \(y = y(x)\) の微分は以下のように書ける。
$$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$$
陽関数，陰関数
\(z = f(x, y)\) において，\(f(x, y) = 0\) という条件をつけると，2つの変数 \(x, y\) は独立ではなく，\(x\) の値を与えると，\(y\) の値が決まってしまう。つまり，\(y\) は \(x\) の関数となる：
$$ f(x, y) = 0 \quad\Rightarrow\quad y = y(x)$$
実際に，\(f(x, y) = 0\) から，\(y = y(x)\) とあからさまに解けるのであれば，「\(y\) は \(x\) の陽関数で書ける」という。たとえ，\(y = g(x)\) とあからさまに書くことができなくても，\(f(x,y) = 0\) という条件によって， \(y\) は \(x\) の関数であることはわかる。このとき，\(y=y(x)\) を \(f(x, y) = \) を満たす「陰関数」という。
つまり，$$ f(x, y(x)) = 0$$
陰関数の微分：陰関数定理
\(f(x, y) =0\) を満たす陰関数 \(y = y(x)\) の微分は以下のように書ける。
$$ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$$
証明
\( f(x, y) = f(x, y(x)) = 0 \) を\(x\) で微分して $$ \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$$
$$\therefore\ \ \frac{dy}{dx} = – \frac{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\displaystyle \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }$$