合成関数の偏微分法

2変数関数 $z=f(x,y)$ において，$x=x(t),y=y(t)$ の場合，$x=x(u,v),y=y(u,v)$ の場合，などにおける微分・偏微分について。

ケース1

2変数関数 $z=f(x,y)$ において，$x=x(t),y=y(t)$ なら，パラメータ（媒介変数）$t$ を決めれば $x$ と $y$ の値が一意に決まり，それによって $z$ の値も決まってしまうので，結果，$z$ は $t$ の1変数関数 $z=z(t)$ となる。つまり， $$z=f(x(t),y(t))\to z=z(t)$$

$z$ の全微分は， $$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$ 両辺を $dt$ で「割って」 $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

ケース2

$z=f(x,y)$ について，$$x=x(u,v),y=y(u,v)$$ なら，
$$z=f(x(u,v),y(u,v))\to z=z(u,v)$$

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$ $$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

このような合成関数の偏微分の関係が利用される状況として，座標変換があげられる。例えば，2次元デカルト座標 $x,y$ から極座標 $r,\theta$ への変換
$$\begin{array}{rcl}x& =& x(r,\theta )=r\cos \theta \\ y& =& y(r,\theta )=r\sin \theta \end{array}$$

ケース3

あと，こんなケースも。$z=f(u)$ と $z$ は1変数 $u$ の関数なのだが，$u$ は 2変数 $x,y$ の関数であり $u=u(x,y)$，結局 $z=z(x,y)$ は2変数関数となる，という場合。
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial x}$$  $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial y}$$