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合成関数の偏微分法

2変数関数 \(z = f(x, y)\) において,\(x = x(t), \ y = y(t)\) の場合,$ x = x(u, v), \ y = y(u, v)$ の場合,などにおける微分・偏微分について。

ケース1

2変数関数 \(z = f(x, y)\) において,\(x = x(t), \ y = y(t)\) なら,パラメータ(媒介変数)\(t\) を決めれば \(x\) と \(y\) の値が一意に決まり,それによって \(z\) の値も決まってしまうので,結果,\(z\) は \(t\) の1変数関数 \(z = z(t) \) となる。つまり, $$z = f(x(t), y(t)) \quad \rightarrow\quad  z = z(t)$$

\(z\) の全微分は, $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$ 両辺を \(dt\) で「割って」 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

ケース2

\( z = f(x, y) \) について,$$ x = x(u, v), \quad y = y(u, v)$$ なら,
$$ z = f(x(u, v), y(u, v)) \quad \rightarrow\quad  z = z(u, v)$$

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$

このような合成関数の偏微分の関係が利用される状況として,座標変換があげられる。例えば,2次元デカルト座標 \(x, y\) から極座標 \(r, \theta\) への変換
\begin{eqnarray}
x &=& x(r, \theta) = r \cos\theta\\
y &=& y(r, \theta) = r \sin\theta
\end{eqnarray}

ケース3

あと,こんなケースも。\(z = f(u)\) と \(z\) は1変数 \(u\) の関数なのだが,\(u\) は 2変数 \(x, y\) の関数であり \(u = u(x, y)\),結局 \(z = z(x, y)\) は2変数関数となる,という場合。
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial x} $$  $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial y} $$