$$ dz \equiv f(x + dx, y + dy) – f(x, y) $$ で定義される \( dz\) を関数 \(z\) の全微分という。
2変数関数 \( z = f(x, y) \) において，\(x, y\) がそれぞれ
$$x \rightarrow x + dx, \quad y \rightarrow y + dy$$
と変化するとき，対応して \(z\) も変化する。ここで
$$ dz \equiv f(x + dx, y + dy) – f(x, y) $$ で定義される \( dz\) を関数 \(z\) の全微分という。
\begin{eqnarray} dz &=& f(x + dx, y + dy) – f(x, y) \\
&=& f(x + dx, y+dy) – f(x, y+dy) + f(x, y+dy) – f(x, y) \\
&=& \frac{\partial}{\partial x} f(x, y+dy) dx + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) dy \end{eqnarray}
最後の第1項は，
$$\frac{\partial}{\partial x} f(x, y+dy) dx \simeq
\frac{\partial}{\partial x} \left( f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial y} dy\right) dx$$ となり，無限小変化の2次の項，つまり \( dx\,dy \) に比例する項は無視できるとして，
$$\frac{\partial}{\partial x} f(x, y+dy) dx \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) dx$$
となる。最終的に2変数関数 \(z = f(x, y) \) の全微分は，
$$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$
となる。このような表記は他の授業，たとえば熱力学でも見かけますよね。（以前，学科の「地球熱力学」という授業も担当したことがあったので。）