全微分

$$dz\equiv f(x+dx,y+dy)–f(x,y)$$ で定義される $dz$ を関数 $z$ の全微分という。

2変数関数 $z=f(x,y)$ において，$x,y$ がそれぞれ

$$x\to x+dx,y\to y+dy$$

と変化するとき，対応して $z$ も変化する。ここで
$$dz\equiv f(x+dx,y+dy)–f(x,y)$$ で定義される $dz$ を関数 $z$ の全微分という。

$$\begin{array}{rcl}dz& =& f(x+dx,y+dy)–f(x,y)\\ & =& f(x+dx,y+dy)–f(x,y+dy)+f(x,y+dy)–f(x,y)\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}f(x,y+dy)dx+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dy\end{array}$$

最後の第1項は，

$$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y+dy)dx\simeq \frac{\partial }{\partial x}(f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}dy)dx$$ となり，無限小変化の2次の項，つまり $dxdy$ に比例する項は無視できるとして，

$$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y+dy)dx\Rightarrow \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)dx$$

となる。最終的に2変数関数 $z=f(x,y)$ の全微分は，

$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

となる。このような表記は他の授業，たとえば熱力学でも見かけますよね。（以前，学科の「地球熱力学」という授業も担当したことがあったので。）