偏導関数

偏導関数

2変数関数 $ z = f(x, y) $ の偏微分 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial f}{\partial y} $ の定義のまとめ。

1変数関数 $ y = f(x) $ の微分 $\displaystyle \frac{df}{dx}$ は以下のように定義していたのであった。

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} \equiv \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}$$

同様にして，2変数関数 $z = f(x, y) $ の $x$-偏導関数を求める（つまり， $x$ で偏微分する）とは，$x$ 以外の変数をあたかも定数であるとして $x$ のみを$\Delta x$ だけ微小変化させた増加率の極限であり，以下のように定義される。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x, y) -f(x, y)}{\Delta x} $$

また，2変数関数 $z = f(x, y) $ の $y$-偏導関数を求める（つまり， $y$ で偏微分する）とは，$y$ 以外の変数をあたかも定数であるとして $y$ のみを$\Delta y$ だけ微小変化させた増加率の極限であり，

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} \equiv \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x , y+ \Delta y) -f(x, y)}{\Delta y} $$

$\partial$ の読み方については，日本語変換システム的には「でる」とか「らうんどでぃー」とか書いて変換してやれば出てくる。

$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} $ の読み方は，各者それぞれの言い回しがあると思うが，例えば私の隣の部屋にいる I 先生にならうと

「デルエフデルエックス」

これが一番読みやすい。他に「ラウンドディーエフラウンドディーエックス」と読めないこともないが，長くて舌をかみそうなので，「ディー」の部分を省略して「ラウンドエフラウンドエックス」と読む場合もある。

参考までに， $\LaTeX $ 表記では

\frac{\partial f}{\partial x}

と書くので，「パーシャルエフパーシャルエックス」と読む人もまれにいるかも知れない。

くどいようだけど，1変数関数の微分 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ は高校で「ディーワイディーエックス」と読み，分数みたいに「ディーエックスぶんのディーワイ」とは読まない，と習ったと思います。偏微分も同様に「分子」（横棒の上の部分）から読んでいきます。

このページの目次