偏導関数

2変数関数 $z=f(x,y)$ の偏微分 ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}}$ の定義のまとめ。

偏微分の定義

1変数関数 $y=f(x)$ の微分 ${\displaystyle \frac{df}{dx}}$ は以下のように定義していたのであった。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}\equiv \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

同様にして，2変数関数 $z=f(x,y)$ の $x$-偏導関数を求める（つまり， $x$ で偏微分する）とは，$x$ 以外の変数をあたかも定数であるとして $x$ のみを$\mathrm{\Delta }x$ だけ微小変化させた増加率の極限であり，以下のように定義される。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\equiv \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$$

また，2変数関数 $z=f(x,y)$ の $y$-偏導関数を求める（つまり， $y$ で偏微分する）とは，$y$ 以外の変数をあたかも定数であるとして $y$ のみを$\mathrm{\Delta }y$ だけ微小変化させた増加率の極限であり，

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}\equiv \underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }y}$$

偏微分記号の読み方

$\partial$ の読み方については，日本語変換システム的には「でる」とか「らうんどでぃー」とか書いて変換してやれば出てくる。

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ の読み方は，各者それぞれの言い回しがあると思うが，例えば私の隣の部屋にいる I 先生にならうと

「デル エフ デル エックス」

これが一番読みやすい。他に「ラウンドディー エフ ラウンドディー エックス」と読めないこともないが，長くて舌をかみそうなので，「ディー」の部分を省略して「ラウンド エフ ラウンド エックス」と読む場合もある。

参考までに， $LATEX$ 表記では

\frac{\partial f}{\partial x}

と書くので，「パーシャル エフ パーシャル エックス」と読む人もまれにいるかも知れない。

くどいようだけど，1変数関数の微分 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ は高校で「ディー ワイ ディー エックス」と読み，分数みたいに「ディー エックス ぶんの ディー ワイ」とは読まない，と習ったと思います。偏微分も同様に「分子」（横棒の上の部分）から読んでいきます。