$f(x, y) = 0$ の条件のもとで，関数 $g(x, y)$ が極値をとる点 $(x, y) = (a, b)$ では，
$$F(x, y, \lambda) \equiv g(x, y) + \lambda\, f(x, y)$$
について
$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$
を満たすような定数 $\lambda$ が存在する。（以下の証明でわかるように，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ と $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ が同時にゼロになることはない，という条件がある。）
証明：パート 1
まず，点 $(x, y) = (a, b)$ で $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$ とする。このとき，$f(x, y) = 0$ を満たす陰関数を $y = y(x)$ として，陰関数定理より
$$\frac{dy}{dx} = – \frac{\ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}}$$
この陰関数 $y = y(x)$ を使うと，$g(x, y) = g(x, y(x))$ となり関数 $g$ は $x$ のみの1変数関数となる。したがって $g(x, y)$ が極値をとる点では
\begin{eqnarray}
\frac{dg}{dx} &=& \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{d y}{d x} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}\cdot\left( -\frac{\ \ \frac{\partial f}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}} \right) \\
&=& \frac{\partial g}{\partial x} + \left(-\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}} \right)\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b)\\
\mbox{ここで} \ \ \lambda &\equiv& -\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}} \ \ \mbox{とおくと} \\
\frac{\partial g}{\partial x} + \lambda\,\frac{\partial f}{\partial x} &=& 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b) \\
\therefore\ \ \frac{\partial F}{\partial x} &=& 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b)
\end{eqnarray}
また，$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} $ については，$\displaystyle \lambda = -\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}}$ を使うと，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial F}{\partial y} &=& \frac{\partial g}{\partial y} + \lambda\, \frac{\partial f}{\partial y} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial y} + \left(-\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial y}} \right) \frac{\partial f}{\partial y} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial y} -\frac{\partial g}{\partial y} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
最後に $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \lambda} $ については，そもそもの拘束条件 $f(x, y) = 0$ より
$$\frac{\partial F}{\partial \lambda} = f(x, y) = 0$$
となり，
$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$
を満たすような定数 $\lambda$ が存在することが示された。
証明：パート 2
点 $(x, y) = (a, b)$ で $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ の場合は，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \neq 0$ であるから，$f(x, y) = 0$ を満たす陰関数を $x = x(y)$ としてやれば同様に証明できる。
まず，点 $(x, y) = (a, b)$ で $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \neq 0$ とする。このとき，$f(x, y) = 0$ を満たす陰関数を $x = x(y)$ として，陰関数定理より
$$\frac{dx}{dy} = – \frac{\ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}}$$
この陰関数 $y = y(x)$ を使うと，$g(x, y) = g(x(y), y)$ となり関数 $g$ は $y$ のみの1変数関数となる。したがって $g(x, y)$ が極値をとる点では
\begin{eqnarray}
\frac{dg}{dy} &=& \frac{\partial g}{\partial x} \frac{d x}{d y}+ \frac{\partial g}{\partial y} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial x}\cdot\left( -\frac{\ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}} \right) \\
&=& \frac{\partial g}{\partial y} + \left(-\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}} \right)\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b)\\
\mbox{ここで} \ \ \lambda &\equiv& -\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}} \ \ \mbox{とおくと} \\
\frac{\partial g}{\partial y} + \lambda\,\frac{\partial f}{\partial y} &=& 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b) \\
\therefore\ \ \frac{\partial F}{\partial y} &=& 0 \ \ \mbox{at} \ \ (x, y) = (a, b)
\end{eqnarray}
また，$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} $ については，$\displaystyle \lambda = -\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}}$ を使うと，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial F}{\partial x} &=& \frac{\partial g}{\partial x} + \lambda\, \frac{\partial f}{\partial x} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial x} + \left(-\frac{\ \ \frac{\partial g}{\partial x}\ \ }{\frac{\partial f}{\partial x}} \right) \frac{\partial f}{\partial x} \\
&=& \frac{\partial g}{\partial x} -\frac{\partial g}{\partial x} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
最後に $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \lambda} $ については，そもそもの拘束条件 $f(x, y) = 0$ より
$$\frac{\partial F}{\partial \lambda} = f(x, y) = 0$$
となり，
$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$
を満たすような定数 $\lambda$ が存在することが示された。