例題 1
$ -\pi \le x \le \pi$ で定義された関数 $f(x) = x^2$ が，区間外で周期 $2 \pi$ の周期関数であるとき，複素フーリエ係数 $c_n$ を求めよ。
解答例
複素フーリエ級数の公式で $L = \pi, \ f(x) = x^2$ として，
\begin{eqnarray}
f(x) = x^2 &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \, e^{i n x} \\
c_n &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, e^{-i n x} \, dx
\end{eqnarray}
まず，$n=0$ のときは
$$c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2\, dx = \frac{1}{2\pi}\,\biggl[ \frac{x^3}{3}\biggr]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi^2}{3}$$
$n \neq 0$ の場合は部分積分を2回ほどやって…
\begin{eqnarray}
c_n &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} x^2 \, e^{- i n x} \, dx \\
&=& \frac{1}{2 \pi} \left\{ \biggl[ x^2 \, \frac{e^{-i n x}}{-i n}\biggr]_{-\pi}^{\pi} -\int_{-\pi}^{\pi} 2 x \frac{e^{-i n x}}{-i n} \, dx\right\} \\
&=& \frac{1}{2 \pi} \left\{ \biggl[ x^2 \, \frac{e^{-i n x}}{-i n}\biggr]_{-\pi}^{\pi}
-\biggl[2 x \frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \biggr]_{-\pi}^{\pi} +\int_{-\pi}^{\pi} 2 \frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \, dx\right\}\\
&=& \frac{1}{2 \pi} \left\{ \biggl[ x^2 \, \frac{e^{-i n x}}{-i n}\biggr]_{-\pi}^{\pi}
-\biggl[2 x \frac{e^{-i n x}}{(-i n)^2} \biggr]_{-\pi}^{\pi}
+\biggl[2 \frac{e^{-i n x}}{(-i n)^3} \biggr]_{-\pi}^{\pi} \right\}\\
&=&\frac{1}{2\pi} \biggl[\left(\frac{x^2}{-i n} – \frac{2x}{(-i n)^2} + \frac{2}{(-i n)^3} \right) e^{-i n x}\biggr]_{-\pi}^{\pi} \\
&=& \frac{2\cdot (-1)^n}{n^2}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
e^{-i n \pi} &=& \cos (n \pi) -i \sin (n \pi) \\
&=& (-1)^n \\
e^{i n \pi} &=&(-1)^n
\end{eqnarray}
となることを使った。
複素フーリエ係数 $c_n$ は以上のようにして求まったので，あらためて複素フーリエ級数を書いてみると，
\begin{eqnarray}
f(x) = x^2 &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \, e^{i n x} \\
&=& c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left\{\frac{2\cdot (-1)^n}{n^2} \, e^{i n x} + \frac{2\cdot (-1)^{(-n)}}{(-n)^2} \, e^{-i n x} \right\}\\
&=& c_0 + c_{+1}\, e^{+ i x} \ \ + c_{+2}\,e^{+2 i x} \ \ + c_{+3}\, e^{+3 i x} + \cdots \\
&&\ \ \ \, + c_{ -1}\, e^{ -i x} \ \ + c_{-2}\,e^{-2 i x} \ \ + c_{-3}\, e^{-3 i x} + \cdots \\
&=& \frac{\pi^2}{3} -2 \left(e^{+ i x} +e^{- i x} \right) + \frac{1}{2} \left(e^{+2 i x} +e^{- 2 i x} \right) – \frac{2}{9} \left(e^{+3 i x} +e^{- 3 i x} \right) + \cdots \\
&=& \frac{\pi^2}{3} -4 \cos x + \cos 2 x -\frac{4}{9} \cos 3 x + \cdots
\end{eqnarray}
例題 2
$ -1 \le x \le 1$ で定義された関数 $f(x) = x$ が，区間外で周期 $2$ の周期関数であるとき，複素フーリエ係数 $c_n$ を求めよ。
解答方針
複素フーリエ級数の公式で $L = 1, \ f(x) = x$ として，
\begin{eqnarray}
f(x) = x &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \, e^{i n \pi\, x} \\
c_n &=& \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x \, e^{-i n \pi\, x} \, dx
\end{eqnarray}
これをすなおに計算していきます。答えが「任意周期のフーリエ級数展開の例」のページに書いてあるからといって，手を抜かずに例題 1 のようにちゃんと積分してください。
複素フーリエ係数 $c_n$ が求まったら，あらためて複素フーリエ級数もつらつらと書いてみるんですよ。