\(\cos \) と\(\sin \) の別々の重ね合わせ（足し合わせ）で表されるフーリエ級数を，オイラーの公式を使って1つにまとめる。
先に，複素フーリエ級数のまとめ
先に答えを書いておく。
区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合，その複素フーリエ級数は
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ であり，その複素フーリエ係数は
\begin{eqnarray}\color{red}
c_n &\color{red}=&\color{red} \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx \\
&\color{red}=&\color{red} \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\exp\left(-i\frac{n\pi}{L}x\right) \, dx
\end{eqnarray}
のようにして求めることができる。
以下は，こうなる理由。
周期 \( 2L\) の周期関数
区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合，そのフーリエ級数展開は
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \frac{n\pi}{L} x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx $$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx $$ と書けるのであった。
最初の \(a_0\) だけ \(\frac{1}{2}\) がかかっているとか，\(\displaystyle\cos \frac{n\pi}{L} x\) と \(\displaystyle\sin \frac{n\pi}{L} x\) の別々の重ね合わせになっていたりして何かすっきりしないなぁというところを，オイラーの公式
$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$ を使って，コンパクトにまとめる，という話。
まず，答えを先に書く。複素フーリエ級数は
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ と書ける。（とても美しい式なので，色をつけてみました。）
以下では，複素フーリエ級数の式
$$\color{red}f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)$$
を変形していくと，（実）フーリエ級数の式
$$\color{blue} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos \frac{n\pi}{L}x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x\right)$$
になる，という方向で証明する。
まず，\(\theta\equiv \frac{\pi}{L}x\) とおいて\begin{eqnarray}
f(x) &=& \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,e^{i n\theta} \\
&=& c_0 + c_{+1} \,e^{+ i \theta} + c_{+2} \,e^{+2i \theta}+ c_{+3} \,e^{+3i\theta} +\cdots\\
&& \quad + c_{-1} \,e^{-i\theta} + c_{-2} \,e^{-2i\theta}+ c_{-3} \,e^{-3i\theta} +\cdots
\end{eqnarray}
となり，
$$ c_0 \equiv \frac{a_0}{2}, \quad c_{\pm n} \equiv \frac{1}{2} \left(a_n \pm \frac{1}{i} b_n\right)$$
とすると，
\begin{eqnarray}
f(x) &=& c_0 + c_{+1} \,e^{+ i \theta} + c_{-1} \,e^{-i\theta}\\
&& \quad + c_{+2} \,e^{+2i \theta}+ c_{-2} \,e^{-2i\theta}\\
&& \quad + c_{+3} \,e^{+3i\theta} +c_{-3} \,e^{-3i\theta} + \cdots \\
&=& \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\left(a_1 + \frac{1}{i} b_1\right) \,e^{+ i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_1 -\frac{1}{i} b_1\right) \,e^{-i \theta} \\
&&\quad + \frac{1}{2}\left(a_2 + \frac{1}{i} b_2\right) \,e^{+2 i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_2 -\frac{1}{i} b_2\right) \,e^{-i 2\theta} \\
&&\quad + \frac{1}{2}\left(a_3 + \frac{1}{i} b_3\right) \,e^{+3 i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_3 -\frac{1}{i} b_3\right) \,e^{-i 3\theta}+\cdots \\
&=& \frac{a_0}{2} + a_1 \frac{e^{+ i \theta} + e^{-i\theta}}{2} + b_1 \frac{e^{+ i \theta} -e^{-i\theta}}{2 i} \\
&&\quad +a_2 \frac{e^{+ 2i \theta} + e^{-2i\theta}}{2} + b_2 \frac{e^{+ 2i \theta} -e^{-2i\theta}}{2 i}\\
&&\quad +a_3 \frac{e^{+ 3i \theta} + e^{-3i\theta}}{2} + b_3 \frac{e^{+ 3i \theta} -e^{-3i\theta}}{2 i} + \cdots\\
&=& \frac{a_0}{2} + a_1 \cos \theta + b_1 \sin \theta \\
&&\quad + a_2 \cos 2\theta + b_2 \sin 2\theta \\
&&\quad + a_3 \cos 3\theta + b_3\sin 3\theta+ \cdots\\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos n\theta + b_n \sin n\theta\right) \\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos \frac{n\pi}{L}x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x\right)
\end{eqnarray} と，無事，（実）フーリエ級数の式になりました。
また，その係数である複素フーリエ係数は
\begin{eqnarray}
c_n &=& \frac{1}{2} \left(a_n -i b_n\right) \\
&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \frac{1}{2}\left(\cos \frac{n\pi}{L} x -i \sin \frac{n\pi}{L} x\right) \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\exp\left(-i\frac{n\pi}{L}x\right) \, dx\\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx
\end{eqnarray} として求めることができる。最後の \({}^*\) は複素共役をあらわす。
複素フーリエ級数のまとめ
区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合，その複素フーリエ級数は
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ であり，その複素フーリエ係数は
$$\color{red}{
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx
}$$ のようにして求めることができる。
また，関数 \(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right) \) の直交性については，複素共役をかけて積分して
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \left( \exp\left(i\frac{m\pi}{L}x\right)\right)^* \exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx &=& \int_{-L}^L\exp\left(i\frac{(n-m)\pi}{L}x\right)\,dx \\
&=& \begin{cases}
2L & (m = n) \\
0 & (m \neq n)
\end{cases} = 2L \,\delta_{mn}
\end{eqnarray}
あとで出てくるフーリエ積分での対応をかんがみて，以下のように書き換えておく。
\begin{eqnarray}
k_n &\equiv& \frac{n\pi}{L} \\
k_m &\equiv& \frac{m\pi}{L}\\
\frac{1}{2L} \int_{-L}^L e^{i(k_n -k_m) x} \, dx &=& \delta_{mn}
\end{eqnarray}
さて，ここまで延々と式を展開してきたわけだが，複素フーリエ級数は，それ自体の有効性よりも，むしろ次の「フーリエ変換」へつながる点で重要である。確かに，複素フーリエ級数は \(\cos\) と \(\sin\) を別々に書いて重ね合わせるよりもコンパクトに表現できるのは魅力であるけどね。