フーリエ級数の導入では，区間 \( -\pi \le x \le \pi \) で定義された関数 \(f(x)\) が，その区間の外では周期 \(2\pi\) の周期関数であるとした。
周期 \(2\pi\) の決め打ちではなく，任意の周期をもつ関数の場合はどうなるか，という話。
区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合，そのフーリエ級数展開は…
先にまとめ
先に答えを書いておく。区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合，そのフーリエ級数展開は
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \frac{n\pi}{L} x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx $$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx $$
以下は，こうなる理由。
周期 \( 2L\) の周期関数
区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x) \) が，その区間外では周期 \(2 L\) の周期関数であるとし，この関数をフーリエ級数展開する。
周期 \(2\pi\) の場合の公式から，以下のようにして変数を置き換える。
まず，$$ -\pi \le {\color{blue}{x}} \le \pi $$ を \(\pi\) でわって $$ -1 \le \frac{1}{\pi}{\color{blue}{x} }\le 1 $$ そして \(L\) をかけて $$ -L \le \frac{L}{\pi} {\color{blue}{x}} \le L $$
$$ \frac{L}{\pi} {\color{blue}{x}}\Rightarrow {\color{red}{x}} \quad\mbox{or}\quad {\color{blue}{x} }\Rightarrow \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}$$ と置き換えると $$ -L \le {\color{red}{x} }\le L$$
つまり，任意の周期 \(2L\) の周期関数のフーリエ級数は，周期 \(2\pi\) の場合の以下の式
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos n {\color{blue}{x}} + b_n \sin n {\color{blue}{x}} \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n {\color{blue}{x}} \, d{\color{blue}{x}} $$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n {\color{blue}{x}} \, d{\color{blue}{x}} $$
で，$${\color{blue}{x}} \Rightarrow \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}, \quad d{\color{blue}{x}} \Rightarrow \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}}$$ と置き換えればよく，以下のようになる。
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \left(n \frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}\right) + b_n \sin \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}}\right) \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}} \right) \, \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}} $$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \left(n\frac{\pi}{L} {\color{red}{x}} \right)\, \frac{\pi}{L} d{\color{red}{x}} $$