任意の周期をもつ関数のフーリエ級数展開

フーリエ級数の導入では，区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)$ が，その区間の外では周期 $2\pi$ の周期関数であるとした。

周期 $2\pi$ の決め打ちではなく，任意の周期をもつ関数の場合はどうなるか，という話。

区間 $-L\le x\le L$ で定義された関数 $f(x)$ が区間外では周期 $2L$ の周期関数である場合，そのフーリエ級数展開は…

先にまとめ

先に答えを書いておく。区間 $-L\le x\le L$ で定義された関数 $f(x)$ が区間外では周期 $2L$ の周期関数である場合，そのフーリエ級数展開は
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi }{L}x+b_n\sin \frac{n\pi }{L}x)$$
$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi }{L}xdx$$
$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi }{L}xdx$$

以下は，こうなる理由。

周期 $2L$ の周期関数

区間 $-L\le x\le L$ で定義された関数 $f(x)$ が，その区間外では周期 $2L$ の周期関数であるとし，この関数をフーリエ級数展開する。

周期 $2\pi$ の場合の公式から，以下のようにして変数を置き換える。

まず，$$-\pi \le x\le \pi$$ を $\pi$ でわって $$-1\le \frac{1}{\pi }x\le 1$$ そして $L$ をかけて $$-L\le \frac{L}{\pi }x\le L$$
$$\frac{L}{\pi }x\Rightarrow x\text{or}x\Rightarrow \frac{\pi }{L}x$$ と置き換えると $$-L\le x\le L$$

つまり，任意の周期 $2L$ の周期関数のフーリエ級数は，周期 $2\pi$ の場合の以下の式

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$$
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
で，$$x\Rightarrow \frac{\pi }{L}x,dx\Rightarrow \frac{\pi }{L}dx$$ と置き換えればよく，以下のようになる。
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(n\frac{\pi }{L}x\right)+b_n\sin \left(n\frac{\pi }{L}x\right))$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \left(n\frac{\pi }{L}x\right)\frac{\pi }{L}dx$$
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \left(n\frac{\pi }{L}x\right)\frac{\pi }{L}dx$$