\(\displaystyle\iint_D f(x,y) dx dy\) の領域 \(D\) が何と何で囲まれているかを明らかにして積分する。
領域 $D$ が $x = a, \ x = b, \ y = c, \ y = d$ で囲まれる場合
\begin{eqnarray}
\iint_D f(x,y) \,dx\, dy &=& \int_a^b \left\{\int_c^d f(x,y)\,dy \right\} \,dx \\
&=& \int_c^d \left\{ \int_a^bf(x,y)\,dx \right\} \,dy
\end{eqnarray}
領域 \(D\) が \(x = a, \ x = b, \ y = y_1(x), \ y = y_2(x)\) で囲まれる場合
$$\iint_D f(x,y) \,dx\, dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy\, f(x,y)$$
解説:
\begin{eqnarray}\iint_D f(x,y)\, dx\, dy &=&
\int_a^b \left\{ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) dy \right\} dx \\
&=& \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) dy \,dx \\
&=& \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy \,f(x, y)
\end{eqnarray}
高校では,インテグラル \(\displaystyle \int\) と \(dx\) の間に被積分関数 \(f(x)\) を挟んで書いてましたが,2重積分のような場合は,インテグラル \(\displaystyle \int_a^b \) の積分範囲が,\(x\) の範囲なのか \(y\) の範囲なのか混乱する場合もあるでしょう。
そこで,上式の一番最後の表記のように,\(\displaystyle \int_a^b dx\) と書いて \(x\) の積分範囲が\([a, b]\) なんですよとわかりやすくするというのが大学的書き方です。
積分する変数とその積分範囲のペアを最優先に
$$\int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy$$ のように書くので,肝心の被積分関数 \(f(x,y)\) が一番最後に現れて,見慣れないうちは何となく落ち着かないかもしれませんが,まあ,慣れてください。
領域 \(D\) が \(y = c, \ y = d, \ x = x_1(y), \ x = x_2(y)\) で囲まれる場合
$$\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} dx\, f(x,y)$$