\(\displaystyle\iint_D f(x,y)\,dx\, dy\) の領域 \(D\) が何と何で囲まれているかを明らかにして，$x, y$ どちらの積分変数から先に積分するかを決めて積分する。$x$ から先に積分する際には，後から積分する変数 $y$ は固定して，あたかも定数のように扱って $x$ について積分する。逆に，$y$ から先に積分する際には，後から積分する変数 $x$ は固定して，あたかも定数のように扱って $y$ について積分する。これが2重積分を累次積分の方法で計算するときのやりかた。
領域 $D$ が $x = a, \ x = b, \ y = c, \ y = d$ で囲まれる場合
\begin{eqnarray}
\iint_D f(x,y) \,dx\, dy &=& \int_a^b \left\{\int_c^d f(x,y)\,dy \right\} \,dx \\
&=& \int_c^d \left\{ \int_a^bf(x,y)\,dx \right\} \,dy
\end{eqnarray}
積分の際，例えば内側の $\displaystyle \int_c^d f(x,y)\,dy $ を計算する際には，$y$ のみについて先に積分であるから，後から積分する変数 $x$ は固定して，あたかも定数のように扱って $y$ について積分する。同様に，内側の $\displaystyle \int_a^bf(x,y)\,dx $ を計算する際には，$x$ のみについて先に積分であるから，後から積分する変数 $y$ は固定して，あたかも定数のように扱って $x$ について積分する。これが2重積分を累次積分の方法で計算するときのやりかた。
領域 \(D\) が \(x = a, \ x = b, \ y = y_1(x), \ y = y_2(x)\) で囲まれる場合
$$\iint_D f(x,y) \,dx\, dy = \int_a^b \left\{\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy \right\}\, dx $$
先に $\displaystyle \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy$ を計算する際には，$y$ のみについて先に積分するのであるから，後から積分する変数 $x$ は固定して，あたかも定数のように扱って $y$ について積分する。これが2重積分を累次積分の方法で計算するときのやりかた。
解説：
\begin{eqnarray}\iint_D f(x,y)\, dx\, dy &=&
\int_a^b \left\{ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) dy \right\} \,dx \quad(\mbox{$\{\ \}$ の中を先に積分})\\
&=& \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y)\, dy \,dx \quad(\mbox{被積分関数に近い $dy$ を先に積分})\\
&=& \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy \,f(x, y) \quad(\mbox{被積分関数に近い $dy$ を先に積分})
\end{eqnarray}
高校では，インテグラル \(\displaystyle \int\) と \(dx\) の間に被積分関数 \(f(x)\) を挟んで書いてましたが，2重積分のような場合は，積分範囲が，\(x\) の範囲なのか \(y\) の範囲なのか混乱する場合もあるでしょう。たとえば
$$\int_a^b \int_c^d f(x, y)\, dx\, dy$$
と書いたとき，$[a, b]$ は $x$ の積分範囲なのか $y$ の積分範囲なのか，一瞬悩みませんか？
そこで，上式の一番最後の表記のように，\(\displaystyle \int_a^b dx\) と書いて \(x\) の積分範囲が\([a, b]\) なんですよとわかりやすくするというのが大学的（ちょっと通ぶった）書き方です。
積分する変数とその積分範囲のペアを最優先に
$$\int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy\, f(x, y) $$ のように書くので，肝心の被積分関数 \(f(x,y)\) が一番最後に現れて，見慣れないうちは何となく落ち着かないかもしれませんが，まあ，慣れてください。
2重積分（一般に多重積分）の順番は，被積分関数 $f(x, y)$ に近い変数のほう（上の例では $\displaystyle \int \, dy$）から先に積分するんですよ。
領域 \(D\) が \(y = c, \ y = d, \ x = x_1(y), \ x = x_2(y)\) で囲まれる場合
$$\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_c^d \left\{\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)\,dx \right\}\, dy = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} dx\, f(x,y)$$
先に $\displaystyle \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} dx\, f(x,y)$ を計算する際には，$x$ のみについて先に積分するのであるから，後から積分する変数 $y$ は固定して，あたかも定数のように扱って $x$ について積分する。これが2重積分を累次積分の方法で計算するときのやりかた。