2変数関数 \(z = f(x, y)\) において，\(x = x(t), \ y = y(t)\) の場合，$ x = x(u, v), \ y = y(u, v)$ の場合，などにおける微分・偏微分について。
ケース1
2変数関数 \(z = f(x, y)\) において，\(x = x(t), \ y = y(t)\) なら，パラメータ（媒介変数）\(t\) を決めれば \(x\) と \(y\) の値が一意に決まり，それによって \(z\) の値も決まってしまうので，結果，\(z\) は \(t\) の1変数関数 \(z = z(t) \) となる。つまり， $$z = f(x(t), y(t)) \quad \rightarrow\quad z = z(t)$$
\(z\) の全微分は， $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$ 両辺を \(dt\) で「割って」 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$
ケース2
\( z = f(x, y) \) について，$$ x = x(u, v), \quad y = y(u, v)$$ なら，
$$ z = f(x(u, v), y(u, v)) \quad \rightarrow\quad z = z(u, v)$$
$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$
このような合成関数の偏微分の関係が利用される状況として，座標変換があげられる。
ケース3
あと，こんなケースも。\(z = f(u)\) と \(z\) は1変数 \(u\) の関数なのだが，\(u\) は 2変数 \(x, y\) の関数であり \(u = u(x, y)\)，結局 \(z = z(x, y)\) は2変数関数となる，という場合。
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial x} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial y} $$
例題：2次元極座標
2次元デカルト座標 \(x, y\) から2次元極座標 \(r, \phi\) への座標変換
\begin{eqnarray}
r &=& \sqrt{x^2 + y^2} \\
\phi &=& \tan^{-1} \frac{y}{x}
\end{eqnarray}
およびその逆変換
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos\phi\\
y &=& r \sin\phi
\end{eqnarray}
から，以下の偏導関数を計算し，結果を極座標 \(r, \phi\) で表す。
$(1)\ \dfrac{\partial r}{\partial x}$
$u \equiv x^2 + y^2$ とおくと $r = u^{\frac{1}{2}}$ であるから
\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{d}{du} u^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&=& \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x\\
&=& \frac{x}{r} \\
&=& \cos\phi
\end{eqnarray}
$(2)\ \dfrac{\partial r}{\partial y}$
$u \equiv x^2 + y^2$ とおくと $r = u^{\frac{1}{2}}$ であるから
\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{d}{du} u^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} \\
&=& \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 y\\
&=& \frac{y}{r} \\
&=& \sin\phi
\end{eqnarray}
$(3)\ \dfrac{\partial \phi}{\partial x}$
$u \equiv \dfrac{y}{x}$ とおくと
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \phi}{\partial x} &=& \frac{d}{du} \tan^{-1} u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&=& \frac{1}{1+u^2}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \\
&=& -\frac{y}{x^2 + y^2} \\
&=& -\frac{\sin\phi}{r}
\end{eqnarray}
$(4)\ \dfrac{\partial \phi}{\partial y}$
$u \equiv \dfrac{y}{x}$ とおくと
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \phi}{\partial y} &=& \frac{d}{du} \tan^{-1} u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \\
&=& \frac{1}{1+u^2}\cdot \left(\frac{1}{x}\right) \\
&=& \frac{x}{x^2 + y^2} \\
&=& \frac{\cos\phi}{r}
\end{eqnarray}