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合成関数の偏微分法

2変数関数 \(z = f(x, y)\) において,\(x = x(t), \ y = y(t)\) の場合,$ x = x(u, v), \ y = y(u, v)$ の場合,などにおける微分・偏微分について。

ケース1

2変数関数 \(z = f(x, y)\) において,\(x = x(t), \ y = y(t)\) なら,パラメータ(媒介変数)\(t\) を決めれば \(x\) と \(y\) の値が一意に決まり,それによって \(z\) の値も決まってしまうので,結果,\(z\) は \(t\) の1変数関数 \(z = z(t) \) となる。つまり, $$z = f(x(t), y(t)) \quad \rightarrow\quad  z = z(t)$$

\(z\) の全微分は, $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$ 両辺を \(dt\) で「割って」 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

ケース2

\( z = f(x, y) \) について,$$ x = x(u, v), \quad y = y(u, v)$$ なら,
$$ z = f(x(u, v), y(u, v)) \quad \rightarrow\quad  z = z(u, v)$$

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$

このような合成関数の偏微分の関係が利用される状況として,座標変換があげられる。

ケース3

あと,こんなケースも。\(z = f(u)\) と \(z\) は1変数 \(u\) の関数なのだが,\(u\) は 2変数 \(x, y\) の関数であり \(u = u(x, y)\),結局 \(z = z(x, y)\) は2変数関数となる,という場合。
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial x} $$  $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du} \frac{\partial u}{\partial y} $$

例題:2次元極座標

2次元デカルト座標 \(x, y\) から2次元極座標 \(r, \phi\) への座標変換

\begin{eqnarray}
r &=& \sqrt{x^2 + y^2} \\
\phi &=& \tan^{-1} \frac{y}{x}
\end{eqnarray}

およびその逆変換
\begin{eqnarray}
x &=&  r \cos\phi\\
y &=&  r \sin\phi
\end{eqnarray}

から,以下の偏導関数を計算し,結果を極座標 \(r, \phi\) で表す。

$(1)\ \dfrac{\partial r}{\partial x}$

$u \equiv x^2 + y^2$ とおくと $r = u^{\frac{1}{2}}$ であるから

\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{d}{du} u^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&=& \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x\\
&=& \frac{x}{r} \\
&=& \cos\phi
\end{eqnarray}

$(2)\ \dfrac{\partial r}{\partial y}$

$u \equiv x^2 + y^2$ とおくと $r = u^{\frac{1}{2}}$ であるから

\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{d}{du} u^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} \\
&=& \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 y\\
&=& \frac{y}{r} \\
&=& \sin\phi
\end{eqnarray}

$(3)\ \dfrac{\partial \phi}{\partial x}$

$u \equiv \dfrac{y}{x}$ とおくと

\begin{eqnarray}
\frac{\partial \phi}{\partial x} &=& \frac{d}{du} \tan^{-1} u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&=& \frac{1}{1+u^2}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \\
&=& -\frac{y}{x^2 + y^2} \\
&=& -\frac{\sin\phi}{r}
\end{eqnarray}

$(4)\ \dfrac{\partial \phi}{\partial y}$

$u \equiv \dfrac{y}{x}$ とおくと

\begin{eqnarray}
\frac{\partial \phi}{\partial y} &=& \frac{d}{du} \tan^{-1} u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \\
&=& \frac{1}{1+u^2}\cdot \left(\frac{1}{x}\right) \\
&=& \frac{x}{x^2 + y^2} \\
&=& \frac{\cos\phi}{r}
\end{eqnarray}

2次元のラプラシアンを極座標で表す

合成関数の偏微分の応用として,(デカルト座標で定義された)2次元のラプラシアン $\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$ を極座標 $r, \phi$ を使って表してみる。

3次元のラプラシアンを極座標で表す

合成関数の偏微分の応用として,(デカルト座標で定義された)3次元のラプラシアン $\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+ \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$ を極座標 $r, \theta, \phi$ を使って表してみる。練習問題にしようかと思ったが単に計算量が多くなるだけなので,備忘録として。