2変数関数 \(f(x, y)\) のテイラー展開は，$h, \ k$ を（小さい）変数として，
\begin{eqnarray}
f(x+h, y+k) = f(x,y) &\,+& \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) \\
&+& \frac{1}{2!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) + \cdots \\
&+& \frac{1}{n!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x,y) + \cdots
\end{eqnarray}
1変数関数 \(f(x)\) のテイラー展開
1変数関数 \(f(x)\) のテイラー展開は以下のようになるのだった。$h$ を（小さい）定数として，
\begin{eqnarray}
f({\color{green}{x + h}}) &=& f(x) + f'(x) \,h + \frac{1}{2!} f^{”}(x) \,h^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{({n})}(x) \,h^n + \cdots\\
&=& f(x) + h \frac{d}{dx} f(x) + \frac{1}{2!} \left(h\frac{d}{dx}\right)^2 f(x) + \cdots + \frac{1}{n!} \left(h\frac{d}{dx}\right)^n f(x) + \cdots
\end{eqnarray}
表記に関する補足
授業の「テイラー展開」のページで $f({\color{blue}{a + x}})$ についてのテイラー展開として
\begin{eqnarray}
f({\color{blue}{a + x}}) &=& f(a) + f'(a)\, x + \frac{f^{”}(a)}{2!}\, x^2 + \cdots +
\frac{f^{({n})}(a)}{n!}\, x^n + \cdots
\end{eqnarray}
と書いたかもしれないが，ここでは $f({\color{green}{x + h}})$ と書き直した理由は以下のとおり。$f({\color{blue}{a + x}})$ のままのテイラー展開だと，2変数関数のテイラー展開を見すえて，不用意に
\begin{eqnarray}
f(a + x)
&=& f(a) + x \frac{d}{dx} f(a) + \frac{1}{2!} \left(x\frac{d}{dx}\right)^2 f(a) + \cdots + \frac{1}{n!} \left(x\frac{d}{dx}\right)^n f(a) + \cdots
\end{eqnarray}
と書いてみたくなるかもしれないが，これは2つの意味で不具合があり，間違い。
まず $\displaystyle \frac{d}{dx} f(a)$ だと，先に $x=a$ を $f(x)$ に代入した $f(a)$ は定数であり，$x$ で微分したらゼロだろ？と誤解されること。
また，たとえば2階微分の項が
$$\displaystyle \left(x\frac{d}{dx}\right)^2 f(x) = x \frac{d}{dx} \left( x \frac{df}{dx} \right) = x \frac{df}{dx} + x^2 \frac{d^2f}{dx^2} \ \mbox{?}$$
と誤解される恐れも十分ある。したがって，$h$ を定数として
\begin{eqnarray}
f({\color{green}{x + h}})
&=& f(x) + h \frac{d}{dx} f(x) + \frac{1}{2!} \left(h\frac{d}{dx}\right)^2 f(x) + \cdots + \frac{1}{n!} \left(h\frac{d}{dx}\right)^n f(x) + \cdots
\end{eqnarray}
と書いておけば，上記のような誤解が生じる隙はなく，以下のように2変数関数のテイラー展開にも同様な表記が使える。
2変数関数 \(f(x, y)\) のテイラー展開
2変数関数 \(f(x, y)\) のテイラー展開も同様。$h, \ k$ を（小さい）変数として，
\begin{eqnarray}
f(x+h, y+k) = f(x,y) &\,+& \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) \\
&+& \frac{1}{2!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) + \cdots \\
&+& \frac{1}{n!} \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x,y) + \cdots
\end{eqnarray}
各項を具体的に計算すると…
\begin{eqnarray}
\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) &=& h \frac{\partial f}{\partial x} + k \frac{\partial f}{\partial y}\\
\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) &=&
\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right) \left( h \frac{\partial f}{\partial x} + k \frac{\partial f}{\partial y}\right)\\
&=& h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + kh \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
&=& h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2 hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+ k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\\
\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^3 f(x,y) &=& \dots
\end{eqnarray}
表記に関する補足
世にあまたある教科書の中には，2変数のマクローリン展開として以下のような公式を掲げている本があった。
\begin{eqnarray}
f(x, y) = f(0, 0) \ &+& \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right) \ f(0, 0) \\
&+& \frac{1}{2!} \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(0, 0) + \cdots\\
&+& \frac{1}{n!} \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(0, 0) + \cdots\\
\end{eqnarray}
ここで，
$$\left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(0, 0)
= x^2 f_{xx}(0, 0) + 2 x y f_{xy}(0, 0) + y^2 f_{yy}(0, 0)$$
などと補足説明しているので意図はわかるが，1変数関数のテイラー展開の表記に関する補足に書いたように，著しく誤解を生じかねない表記なので，このような表記は避けた方がよろしいかと。
また，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = f_x, \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{x y}$ などという表記も，$f_x$ はベクトル $\boldsymbol{f}$ の $x$ 成分ですか？とか，$f_{xy}$ はテンソルの $xy$ 成分ですか？などと誤解されると面倒なので，この手の省略記法は避けた方がよろしいのではないでしょうか，というのが個人の感想。私的には，相対論屋が通常使う
$$\frac{\partial f}{\partial x} = f_{, x}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{, x y}$$
のようにカンマ $(,)$ のあとに偏微分する変数を書く表記法がもっと市民権を得て広まることを希望する。
だいたいこの表記法では，$f_{xx}$ はベクトル $\boldsymbol{f}$ の $x$ 成分の偏微分 $\displaystyle \frac{\partial f_x}{\partial x}$ なのか，スカラー関数 $f$ の2階偏微分 $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ なのか，区別つかないでしょ。
相対論屋の記法では $f_{x, x}$ と $f_{, x x}$ はちゃんと区別つくんだから。
またこの人，他人にいちゃもんつけて… というかもしれないが，ベクトルの $x$ 成分の $x$ 偏微分なんかは，電磁気学ですぐにあらわれるので，どの電磁気学の教科書でも $x$ 偏微分を $f_x$ などとは書かないんですよ。