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複素フーリエ級数

\(\cos \) と\(\sin \) の別々の重ね合わせ(足し合わせ)で表されるフーリエ級数を,オイラーの公式を使って1つにまとめる。


先に,複素フーリエ級数のまとめ

 

先に答えを書いておく。

区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合,その複素フーリエ級数
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ であり,その複素フーリエ係数
$$\color{red}{
c_n =  \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx
}$$ のようにして求めることができる。

以下は,こうなる理由。

 

周期 \( 2L\) の周期関数

 

区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合,そのフーリエ級数展開は
$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos \frac{n\pi}{L} x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x \bigr) $$
$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx $$
$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx $$ と書けるのであった。

最初の \(a_0\) だけ \(\frac{1}{2}\) がかかっているとか,\(\cos \frac{n\pi}{L} x\) と \(\sin \frac{n\pi}{L} x\) の別々の重ね合わせになっていたりして何かすっきりしないなぁというところを,オイラーの公式
$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$ を使って,コンパクトにまとめる,という話。

まず,答えを先に書く。複素フーリエ級数
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ と書ける。(とても美しい式なので,色をつけてみました。)

なぜかというと,\(\theta\equiv \frac{\pi}{L}x\) とおいて\begin{eqnarray}
f(x) &=& \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,e^{i n\theta} \\
&=& c_0 + c_{+1} \,e^{+ i \theta} + c_{+2} \,e^{+2i \theta}+ c_{+3} \,e^{+3i\theta} +\cdots\\
&& \quad + c_{-1} \,e^{-i\theta} + c_{-2} \,e^{-2i\theta}+ c_{-3} \,e^{-3i\theta} +\cdots
\end{eqnarray}
となり,
$$ c_0 \equiv \frac{a_0}{2}, \quad c_{\pm n} \equiv \frac{1}{2} \left(a_n \pm \frac{1}{i} b_n\right)$$
とすると,
\begin{eqnarray}
f(x) &=& c_0 + c_{+1} \,e^{+ i \theta} + c_{-1} \,e^{-i\theta}\\
&& \quad + c_{+2} \,e^{+2i \theta}+ c_{-2} \,e^{-2i\theta}\\
&& \quad + c_{+3} \,e^{+3i\theta} +c_{-3} \,e^{-3i\theta} + \cdots \\
&=& \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\left(a_1 + \frac{1}{i} b_1\right) \,e^{+ i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_1 – \frac{1}{i} b_1\right) \,e^{- i \theta} \\
&&\quad + \frac{1}{2}\left(a_2 + \frac{1}{i} b_2\right) \,e^{+2 i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_2 – \frac{1}{i} b_2\right) \,e^{- i 2\theta} \\
&&\quad + \frac{1}{2}\left(a_3 + \frac{1}{i} b_3\right) \,e^{+3 i \theta} + \frac{1}{2}\left(a_3 – \frac{1}{i} b_3\right) \,e^{- i 3\theta}+\cdots \\
&=& \frac{a_0}{2} + a_1 \frac{e^{+ i \theta} + e^{-i\theta}}{2} + b_1 \frac{e^{+ i \theta} – e^{-i\theta}}{2 i} \\
&&\quad +a_2 \frac{e^{+ 2i \theta} + e^{-2i\theta}}{2} + b_2 \frac{e^{+ 2i \theta} – e^{-2i\theta}}{2 i}\\
&&\quad +a_3 \frac{e^{+ 3i \theta} + e^{-3i\theta}}{2} + b_3 \frac{e^{+ 3i \theta} – e^{-3i\theta}}{2 i} + \cdots\\
&=& \frac{a_0}{2} + a_1 \cos \theta + b_1 \sin \theta \\
&&\quad + a_2 \cos 2\theta + b_2 \sin 2\theta \\
&&\quad + a_3 \cos 3\theta + b_3\sin 3\theta+ \cdots\\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos n\theta + b_n \sin n\theta\right) \\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos \frac{n\pi}{L}x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x\right)
\end{eqnarray} となるからである。

また,その係数である複素フーリエ係数
\begin{eqnarray}
c_n &=& \frac{1}{2} \left(a_n – i b_n\right) \\
&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \frac{1}{2}\left(\cos \frac{n\pi}{L} x – i \sin \frac{n\pi}{L} x\right) \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\exp\left(-i\frac{n\pi}{L}x\right) \, dx\\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx
\end{eqnarray} として求めることができる。最後の \({}^*\) は複素共役をあらわす。

複素フーリエ級数のまとめ

区間 \( -L \le x \le L\) で定義された関数 \(f(x)\) が区間外では周期 \(2 L\) の周期関数である場合,その複素フーリエ級数
$$\color{red}{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \,\exp\left({i \frac{n\pi}{L}x}\right)}$$ であり,その複素フーリエ係数
$$\color{red}{
c_n =  \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)\,\left(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\right)^* \, dx
}$$ のようにして求めることができる。

また,関数 \(\exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right) \) の直交性については,複素共役をかけて積分して
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \left( \exp\left(i\frac{m\pi}{L}x\right)\right)^* \exp\left(i\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx &=& \int_{-L}^L\exp\left(i\frac{(n-m)\pi}{L}x\right)\,dx \\
&=& \begin{cases}
2L & (m = n) \\
0  & (m \neq n)
\end{cases} = 2L \,\delta_{mn}
\end{eqnarray}

あとで出てくるフーリエ積分での対応をかんがみて,以下のように書き換えておく。

\begin{eqnarray}
k_n &\equiv& \frac{n\pi}{L} \\
k_m &\equiv& \frac{m\pi}{L}\\
\frac{1}{2L} \int_{-L}^L e^{i(k_n – k_m) x} \, dx &=& \delta_{mn}
\end{eqnarray}

さて,ここまで延々と式を展開してきたわけだが,複素フーリエ級数は,それ自体の有効性よりも,むしろ次の「フーリエ変換」へつながる点で重要である。確かに,複素フーリエ級数は \(\cos\) と \(\sin\) を別々に書いて重ね合わせるよりもコンパクトに表現できるのは魅力であるけどね。