ケプラー運動の真近点離角 $\phi$ と離心近点離角 $u$ との関係については，Memo「ケプラー運動の時間平均を真近点離角の積分で求める」にまとめた。木下宙著「天体と軌道の力学」によれば，
\begin{eqnarray}
\tan \phi
&=& \frac{\sqrt{1-e^2} \sin u}{\cos u – e}
\end{eqnarray}
あるいは，半角表示で
\begin{eqnarray}
\tan \frac{\phi}{2} &=& \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{u}{2}
\end{eqnarray}
これをもう少し別の角度から見てみようという話。
テイラー展開による近似式およびパデ近似による近似式とラマヌジャンの近似式の紹介と評価。追記して，関孝和による近似式も。
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参考サイト
上記のページを参考に，地面から高さ \(h\) の地点から空気抵抗なしの斜方投射を行うと，水平方向の到達距離が最大となるのは打ち上げ角度（仰角）が \(45^{\circ}\) のときではなく，それより少し小さめになることをおさらいしておく。学生のコンピュータ演習用にと思ったが，けっこう手間取ったのでメモ。
なお，空気抵抗がある場合の斜方投射については，以下を参照。
逆三角関数は
$$\sin^{-1} x = \arcsin x, \quad \cos^{-1} x = \arccos x, \quad \tan^{-1}x = \arctan x$$
と arc と書いて「アーク」と読むのに，逆双曲線関数は
$$\sinh^{-1} x = \mbox{arsinh}\ x, \quad \cosh^{-1} x = \mbox{arcosh}\ x, \quad \tanh^{-1}x = \mbox{artanh}\ x$$
のように，area の略の ar であり，arc と書くべきではないし，「アーク」と読むべきでもない理由について。「逆」関数だから「arc」をつける，というのではない。そもそも「arc」に「逆」の意味はない。
ベクトルのスカラー三重積は，3つのベクトルの成分を並べた $3\times 3$ 行列の行列式と等しいことを Maxima-Jupyter で確認。微小体積要素とヤコビアンの説明の前準備用に。
