2次元ベクトルの内積から，三角関数の加法定理
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$$ を証明する。他の加法定理 \(\sin(\alpha + \beta)\) や \(\tan (\alpha + \beta)\) は，これを使って示せる。
コサインの加法定理の証明
上の図のように，半径 \(1\) の円周上に点 \(A, B\) を置くと，
$$\overrightarrow{OA} \equiv \boldsymbol{a} = (a_x, a_y) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$$
$$\overrightarrow{OB} \equiv \boldsymbol{b} = (b_x, b_y) = (\cos\beta, -\sin\beta)$$
2つのベクトル \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) の内積は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}&=& a_x b_x + a_y b_y \\
&=& \cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
一方でこの内積は2つのベクトルのなす角 \(\theta \equiv \alpha+\beta\) を使って以下のようにも書ける。 （半径 \(1\) の円周上だから \(|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| =1\) であることに注意。）
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}&=& |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos\theta \\
&=& \cos(\alpha + \beta)
\end{eqnarray}
したがって
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$$
サインの加法定理の証明
\(\displaystyle \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \) を使ってコサインの加法定理になおす。
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \beta) &=& \cos\left(\frac{\pi}{2} -(\alpha+\beta)\right) \\
&=& \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha -\beta\right) \\
&=& \cos\left(\frac{\pi}{2} -\alpha\right) \cos(-\beta) -\sin\left(\frac{\pi}{2} -\alpha\right) \sin(-\beta)\\
&=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
タンジェントの加法定理
\(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\) だから…