\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) の証明。
半径 \(r = 1\)（つまり，\(OA = OB = 1\)），中心角 \(x\) （ラジアン）の扇形 \(OAB\) の面積 \(S\) は，
$$S = \frac{x}{2}$$これは，扇形の面積が中心角に比例し，特に \(x = 2 \pi \) のとき \(S = \pi r^2 = \pi, (\because \ r = 1)\) となることからわかる。
次に，三角形 \(OAB\) の面積 \(S_1\) は，底辺が \(OA = 1, \) 高さが \(PB = \sin x\) であることから
$$S_1 = \frac{1}{2} \sin x$$
また，直角三角形 \(OAC\) の面積 \(S_2\) は，底辺が \(OA = 1, \) 高さが \(AC = \tan x\) であることから
$$ S_2 = \frac{1}{2} \tan x$$
< 
< 
図からわかるように，
$$ S_1 < S < S_2$$ であるから
$$ \frac{1}{2} \sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \tan x $$
\( \sin x > 0 \) として各項に \(\displaystyle \frac{2}{\sin x}\) をかけて…
$$ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$
逆数をとると不等号の向きがかわり…
$$\therefore \ 1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$$
各項の極限をとると…
$$ \lim_{x \rightarrow 0} 1 = 1 \geq \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \geq \lim_{x \rightarrow 0}\cos x = 1$$
$$\therefore \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$