Return to 静磁場：電流密度から直接静磁場を求める

参考：静磁場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

積分を Maxima-Jupyter で確認する

1

$$\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\left(x^2 + y^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =  \frac{2}{x^2 + y^2}$$

の確認。（電場を求めるときにも出ました。）

In [1]:
/* 分母がゼロにならないように仮定します。*/
assume(x > 0)$
In [2]:
'integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf) = 
 integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+y^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dz_{1}}=\frac{2}{y^2+x^2}\]

2

$$\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{z – z’}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =0$$

の確認。

In [3]:
'integrate(
   (z-z1)/((x-x1)**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
   z1, -inf, inf) =
 integrate(
   (z-z1)/((x-x1)**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
   z1, -inf, inf);

X     2             2     2             2
Is y1  - 2 y y1 + y  + x1  - 2 x x1 + x  zero or nonzero?
\     2             2     2             2
Is y1  - 2 y y1 + y  + x1  - 2 x x1 + x  zero or nonzero?
nonzero;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{z-z_{1}}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+\left(y-y_{1}\right)^2+\left(x-x_{1}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dz_{1}}=0\]

3

\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi}  \,d\phi’  \frac{ a^2  – a  y\sin\phi’ – a x\cos\phi’  }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } && \\
= \left\{
\begin{array}{ll}
2\pi  & (a > \sqrt{x^2 + y^2})\\
0 & (a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

の確認。

In [4]:
/* 変数について assume() したことを無かったことにします。*/
facts(a)$
forget(%)$
facts(x)$
forget(%)$

/* ソレノイドの内側 */
assume(a > 0)$
assume(a > sqrt(x**2 + y**2))$

'integrate(
    (a**2 - a*x*cos(phi1) - a*y*sin(phi1))
    /(x**2 + y**2 + a**2 - 2*a*x*cos(phi1)-2*a*y*sin(phi1)), 
    phi1, 0, 2*%pi) =
 integrate(
    (a**2 - a*x*cos(phi1) - a*y*sin(phi1))
    /(x**2 + y**2 + a**2 - 2*a*x*cos(phi1)-2*a*y*sin(phi1)), 
    phi1, 0, 2*%pi);

X          2    2
         y  + x
Is ------------------- - 1 positive, negative or zero?
         2  2    2  2
   sqrt(a  y  + a  x )
\          2    2
         y  + x
Is ------------------- - 1 positive, negative or zero?
         2  2    2  2
   sqrt(a  y  + a  x )
negative;
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{-a\,\sin \varphi_{1}\,y-a\,\cos \varphi_{1}\,x+a^2}{y^2-2\,a\,\sin \varphi_{1}\,y+x^2-2\,a\,\cos \varphi_{1}\,x+a^2}\;d\varphi_{1}}=2\,\pi\]
In [5]:
/* 変数について assume() したことを無かったことにします。*/
facts(a)$
forget(%)$
facts(x)$
forget(%)$

/* ソレノイドの外側 */
assume(a > 0)$
assume(a < sqrt(x**2 + y**2))$

'integrate(
    (a**2 - a*x*cos(phi1) - a*y*sin(phi1))
    /(x**2 + y**2 + a**2 - 2*a*x*cos(phi1)-2*a*y*sin(phi1)), 
    phi1, 0, 2*%pi) =
 integrate(
    (a**2 - a*x*cos(phi1) - a*y*sin(phi1))
    /(x**2 + y**2 + a**2 - 2*a*x*cos(phi1)-2*a*y*sin(phi1)), 
    phi1, 0, 2*%pi);

X          2    2
         y  + x
Is ------------------- - 1 positive, negative or zero?
         2  2    2  2
   sqrt(a  y  + a  x )
\          2    2
         y  + x
Is ------------------- - 1 positive, negative or zero?
         2  2    2  2
   sqrt(a  y  + a  x )
positive;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{-a\,\sin \varphi_{1}\,y-a\,\cos \varphi_{1}\,x+a^2}{y^2-2\,a\,\sin \varphi_{1}\,y+x^2-2\,a\,\cos \varphi_{1}\,x+a^2}\;d\varphi_{1}}=0\]