Return to ベクトル場の積分

参考:ガウスの定理の証明

ガウスの定理

$$ \iiint_V \nabla\cdot \boldsymbol{a}\, dV = \iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n} dS$$

ここで,\(S\) は体積 \(V\) の立体を囲む表面,\(dS\) はその表面の微小面積部分,\(\boldsymbol{n}\) は微小面積 \(dS\) に垂直な単位ベクトル(向きは立体の外側を向く)。

図のように,それぞれの辺の長さが \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\) である微小立方体を考え,この体積を囲む面からのベクトル \(\boldsymbol{a}\) の流束を計算する。

まず,面②から出る流束は $$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_2\, \Delta S_2 = a_z(\Delta z) \Delta x \Delta y = \left\{a_z(0) + \frac{\partial a_z}{\partial z} \Delta z \right\} \Delta x \Delta y$$

同様にして,面①から出る流束は $$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_1\, \Delta S_1 = -a_z(0) \Delta x \Delta y $$ ここでマイナスがつくのは,\(\boldsymbol{n}\) が立体の表面外向きのベクトルであるから。

\(z\) 軸に直交するこの二つの面の流束を足すと,

$$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_1\, \Delta S_1 + (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_2\, \Delta S_2 = \frac{\partial a_z}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z$$

6面全部を考えると,この微小直方体から出る流束の和は,

$$\sum_{i=1}^{6} (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_i \,\Delta S_i = \left( \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z} \right) \Delta x \Delta y \Delta z = \nabla\cdot\boldsymbol{a} \,\Delta V$$

この微小体積を積分して,体積 \(V\) の立体とそれを囲む表面 \(S\) をつくると,

$$\iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} \, dV$$