ストークスの定理
$$ \iint_S (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\,dS = \oint_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}$$
ここで \(S\) は閉曲線 \(C\) で囲まれた曲面であり，\(\boldsymbol{n}\) はその曲面の微小面積 \(dS\) に垂直な単位ベクトル。
図のように，それぞれの辺の長さが \(\Delta x, \Delta y\) である微小ループ \(\Delta C\) を考え，この微小ループに沿ったベクトル \(\boldsymbol{a}\) の接線成分を反時計回りに1周，線積分する。
\begin{eqnarray}
\oint_{\Delta C} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} &=& a_x(1) \Delta x + a_y(2) \Delta y – a_x(3) \Delta x – a_y(4) \Delta y \\
&=& -\left( a_x(3) – a_x(1)\right) \Delta x + \left(a_y(2) – a_y(4)\right) \Delta y\\
&=& – \frac{\partial a_x}{\partial y} \Delta y\, \Delta x+ \frac{\partial a_y}{\partial x} \Delta x\, \Delta y \\
&=& \left(\frac{\partial a_y}{\partial x} – \frac{\partial a_x}{\partial y}\right) \Delta x \Delta y \\
&=& \left(\nabla\times \boldsymbol{a}\right)_z \Delta x \Delta y \\
&=& \left(\nabla\times \boldsymbol{a}\right)\cdot\boldsymbol{n} \,\Delta S
\end{eqnarray}
この微小ループを積分して，面積 \(S\) の曲面とそれを囲む閉曲線 \(C\) をつくると，
$$\oint_{C} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_S \left(\nabla\times \boldsymbol{a}\right)\cdot\boldsymbol{n} \,dS $$