Return to 静磁場:電流密度から直接静磁場を求める

参考:静磁場を求める際に使った積分を人力で求めてみる

静磁場を求める際に使った積分は Maxima を数学公式集として使うことで確認できているが,Maxima で解析的に積分できることがわかれば,人力でも解いてみたくなるもの。でもほとんどは「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる」シリーズですでにやっている。

直線電流による磁場で使った積分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left\{x^2 + y^2 + (z-z’)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}\,dz’ = \frac{2}{x^2 + y^2}$$

これは「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる:第1話」で

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(a^2 + Z^2)^{\frac{3}{2}}} dZ = \frac{2}{a^2}$$

となることを説明済み。

ソレノイドを流れる電流による磁場で使った積分

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z – z’}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =0$$

これは,

\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{z – z’}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{Z}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + Z^2\right)^{3/2}} dZ
\end{eqnarray}

とすれば,被積分関数は $Z$ について奇関数だから $\displaystyle \int_{-b}^{b} dZ$ はゼロとなることは明らか。

もう一つの積分

\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi}  \,d\phi’  \frac{ a^2  – a  y\sin\phi’ – a x\cos\phi’  }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } &=& \left\{
\begin{array}{ll}
2\pi  & (a > \sqrt{x^2 + y^2})\\
0 & (a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

も「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる:第2話」の「$y\neq 0$ の一般の場合の考察」の項をみれば($\sqrt{x^2+y^2}$ はそのままにし,$r’ \rightarrow a$ と置き換えて)

\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} d\phi’\frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 –  2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (a >  \sqrt{x^2 + y^2} )\\
2\pi  & (  a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

となることがわかっているので,

\begin{eqnarray}
&&\int_0^{2\pi}  \,d\phi’  \frac{ a^2  – a  y\sin\phi’ – a x\cos\phi’  }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ }  \\
&=& \int_0^{2\pi}  \,d\phi’ \left\{ 1 – \frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 –  2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}\right\} \\
&=& 2\pi – \int_0^{2\pi} d\phi’\frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 –  2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)} \\
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
2 \pi – 0  = 2 \pi & (a >  \sqrt{x^2 + y^2} )\\
2 \pi – 2\pi = 0 & (  a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

つまり,めでたく

$$\int_0^{2\pi}  \,d\phi’  \frac{ a^2  – a  y\sin\phi’ – a x\cos\phi’  }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } = \left\{
\begin{array}{ll}
2 \pi & (a >  \sqrt{x^2 + y^2} )\\
0 & (  a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.$$

となる。